Лекция Предмет «Методика преподавания математики и информатики»

Тема 6. Методика изучения тождественных преобразований.

1. Тождественные преобразования представляют собой одну из главных линий школьного курса математики. На их основании у учащихся формируются представления об аналитических методах математики. Как правило, решение каждой математической задачи аналитическим методом предполагает выполнение некоторых тождественных преобразований. Тождественные преобразования не являются какой-либо отдельной школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса алгебры и начал анализа.

2. Существует несколько подходов к определению тождества, тождественно равных выражений.
Во-первых, тождество рассматривается как равенство, верное при любых значениях переменных (так вводится понятие тождества в учебнике алгебры для 7 класса под редакцией С.А. Теляковского). Этому определению удовлетворяют целые рациональные выражения, но равенства с радикалами ( и ему подобные) при таком подходе уже не являются тождествами. Тождественно равными выражениями называются два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных (это определение в указанном учебнике предшествует определению тождества).
Во-вторых, тождество рассматривается как равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. (Такое определение понятия тождества предлагается в 8 классе в учебнике алгебры под ред. С.А. Теляковского, когда появляются дробно-рациональные выражения). Два алгебраических выражения называются тождественными, если они принимают равные числовые значения при соответственно равных значениях букв из общей части областей определения.
Ценность тождества состоит в том, что оно позволяет данное выражение заменить другим, тождественно равным первому, его – третьим и т.д. Иначе говоря, интерес представляют такие тождественные равенства, которые обладают свойством транзитивности: если тождественно равно и тождественно равно , то тождественно равно .
Покажем, что при данном подходе к определению тождества, они не обладают свойством транзитивности.