Лекция Предмет «Методика преподавания математики и информатики»

Тема 7. Методическая схема изучения функций.


1. Развитие понятия функции.
Понятие функции возникло под влиянием практики и его развитие имеет длинную историю. Различными конкретными функциональными зависимостями люди пользовались с древних времен. В процессе развития математики понятие функции подвергалось определенным изменениям. Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 году в его рукописях. Под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону. В печати это понятие появилось только с 1692 года. В 1698 году Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа».
В XVIII веке появляется аналитическая точка зрения на понятие функции – это был новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который в 1718г. определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер во «Введении в анализ бесконечного»: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII века. Даламбер, Лагранж, Фурье и другие. В то же время в работах Эйлера понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.
«Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних изменяются и первые, то первые называются функциями вторых. Л. Эйлер, 1755».
«Всякое количество, значение которого зависит от одного и многих других количеств, называется функцией этих последних, независимого от того, известно или нет, какие операции нужно произвести, чтобы перейти от них к первому. С. Лакруа, 1797».
«Функция от есть число, которое дается для каждого и вместе с постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа. Зависимость мажет существовать и оставаться неизвестной. Н.И. Лобачевский, 1834».
« есть функция от , если всякому значению соответствует вполне определенное значение , причем совершенно не важно, каким именно способом установлено указанное соответствие. П. Дирихле, 1837».
В 1755 году вышло «Дифференциальное исчисление» Эйлера, в котором он дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых. Это наименование имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других».
Эйлер ввел и принятые сейчас обозначения для функций. Современное определение числовой функции, в котором это понятие уже освобождалось от способа задания, было дано независимо друг от друга русским математиком Н. И. Лобачевским (1834) и немецким математиком Л. Дирихле (1837): «Пусть есть некоторое множество чисел и пусть каждому числу из в силу некоторого (вполне определенного) закона приведено в соответствие (одно) число , тогда говорят, что есть функция от , определенная на множестве ; при этом называют независимой переменной или аргументом, а – зависимой переменной или функцией от , множество – областью определения функции».
Со времен Н. И. Лобачевского и Л. Дирихле в математике укрепилось представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой.