Лекция Предмет «Методика преподавания математики и информатики»

Например, равенство является тождеством, так как верно при любых и равенство также является тождеством, так как оно верно при всех . Составленное из этих тождеств новое равенство при данном подходе не удовлетворяет определению тождества, так как оно не верно при отрицательных значениях , входящих в области допустимых значений и левой, и правой частей равенства. Таким образом, отношение тождественного равенства не транзитивно.
Необходимо иметь в виду, что использование таких тождеств при решении уравнений может привести к уравнению, не равносильному данному.
Например, равенство является тождеством при данном подходе. Применим это тождество при решении уравнения . Получим уравнение , которое неравносильно данному. В самом деле, последнему уравнению удовлетворяет корень , который не является корнем исходного уравнения.
Таким образом, первая трактовка отражает точку зрения абстрактной алгебры. Для того, чтобы получить определенную алгебраическую операцию, достаточно между данными выражениями поставить знак соответствующего действия, в результате чего двум данным выражениям будет поставлено в соответствие единственное третье выражение. Действие считается выполненным, как только между выражениями поставлен знак этого действия. Если выполняются последующие тождественные преобразования, то они трактуются не как преобразования, в результате которых будет получена сумма (разность, произведение, частное) двух выражений, а как преобразование уже записанной суммы (разности, произведения, частного). Преобразования выполняются на основании формального применения алгебраических законов.
Вторая трактовка отражает точку зрения функционального анализа, в котором для сложения, например, двух многочленов недостаточно формального соединения их знаком «+». Необходимо еще убедиться, что значения полученного выражения равны сумме значений выражений-слагаемых (при всех значениях входящих в эти выражения переменных).
Сознательному выполнению учащимися тождественных преобразований способствует понимание того факта, что алгебраические выражения существуют не сами по себе, а в неразрывной связи с некоторым числовым множеством, являются обобщенными записями числовых выражений. Аналогии между алгебраическими и числовыми выражениями (и преобразованиями их) законны в логическом отношении, использование их в обучении способствует предупреждению ошибок учащихся.
3. О целенаправленности тождественных преобразований.
Большое разнообразие тождественных преобразований затрудняет ориентацию учащихся в том, с какой целью они выполняются. Действительно, в одних случаях учащиеся, «упрощая» многочлен, заменяют его произведением многочленов, в других случаях произведение нескольких многочленов заменяют одним многочленом. В одних упражнениях знак «–» выносят за скобки, в других – этот знак вносят в скобки. В одних преобразованиях сумму дробей заменяют одной дробью, в других – данную дробь представляют в виде суммы нескольких дробей. Нечеткое знание цели выполнения преобразований (в каждом конкретном случае) отрицательно сказывается на их осознании, служит источником массовых ошибок учащихся. Это говорит о том, что разъяснение учащимся целей выполнения различных тождественных преобразований является важной составной частью методики их изучения.