Лекция Предмет «Методика преподавания математики и информатики»

3Логико-математический анализ теорем и методические особенности их изучения.
Под теоремой принято считать математическое предложение (утверждение), истинность которого устанавливается с помощью доказательства в рамках данной теории.
С точки зрения логики теорема представляет собой высказывание, часто в форме импликации. Также в школьном курсе математики встречаются теоремы-тождества и теоремы-формулы (выраженные языком математических символов), теоремы существования (отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование объекта, обладающего определенными свойствами). Среди теорем, представляемых в виде импликации, выделяют такие частные виды, как следствие (доказывается с помощью одной теоремы), лемма (важна как ступень к доказательству другой теоремы), необходимое и достаточное условие (истинно и прямое, и обратное утверждения, форма – эквиваленция).
Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В курсе геометрии в основном рассматриваются теоремы, которые можно представить в виде импликации. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа:

1. 
   установление формы формулировки;
   
2. 
   перевод формулировки, если необходимо, в импликативную форму (если…, то…);
   
3. 
   запись структуры теоремы, т.е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний и содержания структурных элементов;
   
4. 
   определение вида (простая или сложная);
   
5. 
   формулирование утверждений, обратного данному, противоположного данному и обратного противоположному (определение их истинности или ложности).
   

Пример. Анализ теоремы «Сумма смежных углов равна 180 градусам», а также утверждений: а) обратного данному, б) противоположного данному, в) противоположного обратному.
1. Теорема сформулирована в категоричной форме. В импликативной форме она будет иметь формулировку: «Если углы смежные, то их сумма равна 180 градусам». Вид суждения – общеутвердительное, поэтому уточним формулировку: «Если любые два угла смежные, то их сумма равна 180 градусам».
2. Утверждение, обратное данному: «Если сумма двух углов равна 180 градусам, то углы смежные». Вид суждения – общеутвердительное, поэтому формулировка будет: «Если любые два угла в сумме равны 180 градусам, то они смежные».
3. Утверждение, противоположное данному: «Если углы не смежные, то их сумма не равна 180 градусам». Вид суждения – общеотрицательное.
4. Утверждение, обратное противоположному: «Если сумма углов не равна 180 градусам, то углы не смежные». Вид суждения – общеутвердительное.

1.