Қўлланма педагогика институтларининг юқори курс студент- лари ва ўрта мактаб физика ўқитувчилари учун фойдалидир

§. Ферми — Дирак тақсимоти

Ҳар бир энергетик сатҳда энергетик ҳолат бўлсин. Булардан таси электронлар билан банд қилинган бўлса, у ҳолда энергияси , бўлган ҳолатда электроннинг бўлиш эҳтимолини беради. Агар системадаги-энергетик сатҳлар сони т га тенг бўлса, Системанинг тўлиқ энергияси қуйидагига тенг бўлади (4.13)
Системадаги тўлиқ электронлар сони эса
(4.14)


- энергетик сатҳда та электроннинг бўлиш эҳ- тимолини билан белгилайлик: ₍ ўз навбатида ўринга та электронни нечта усул билан жойлаштиришга боглиқ бўлади, яъни
- М
Ҳамма энергетик сатҳлар бўйича электронларнинг тақ- симланиш эҳтимоли
(4. 15)
га тенг бўлади.
Системанинг эркин энергияси
(4.16)
мувозанат ҳолатда минимум бўлиш шартидан фойда- ланайлик. Маълумки, Больцман формуласи ёки
(4.17)

бунда к — Больцман доимийси. (4. 13) ва (4. 17) ни (4. 16) га қўйсак:

(4.18)

Стерлинг формуласи

дан фойдалансак,
(4. 18')
Бу ифодани эркли ўзгарувчи деб кўриб, диффе- ренциалласак,
(4. 19)

га эга бўламиз. Энди (4. 14) ни дифференциаллаб ихтиёрий р сонга кўпайтирамиз, сўнгра уни (4. 19) га қўшиб нолга тенглаймиз, яъни

Бундан нинг индексини ташлаб юборсак,
(4.20)


Бошқача қилиб айтганда,
Бу функция Ферми —Дирак тақсимот функцияси деб юритилади. Бу функциянинг графиги 26- расмда кўрсатилган. Ферми — Дирак тақсимоти қаттиқ жисмлардаги электронларнинг энергияси бўйича қандай тақсимланишини кўрсатади. Г , .

26- расм. Ферми—Дирак ста- тистикасига асосан электрон- ларнинг энергия бўйича тақ- симланиши.
бу тақсимот функция берил- ган электроннинг энергияси е бўлган ҳолатда туриш эҳтимолини беради.
Энди Ферми—Дирак тақ- симот функциясидаги но- маълум сон р ни аниқлай- лик.
Ферми — Дирак тақсимоти функцияси абсолют ноль температурада ноль ёки бир қийматлардан бирини қабул қилади. Ноль ёки бирга тенг бўлишлиги ва ларга боғлиқдир. Ҳақиқатан ҳам бўлса иккаласи ҳам мусбат,
да эса булади.

эненергетик ҳолатдан юқоридаги энергетик ҳрлатларда электронлар бўлмай, паст энергетик ҳолатлар эса электронлар билан банд бўлар экан. Демак, қат;иқ жисмлардаги электронлар учун чегаравий энергияни ифодалар экан. Квант механикасида ни Ферми энергияси, унга мос келган энергетик сатҳни эса Фермиэнергетик сатҳи деб юритилади. (4. 10) га асосан Т=0, . да га тенг бўлади, яъни
Бундан кўринадики, абсолют ноль температурада

ёки
(4.21)
Бундан кўринадики, Ферми энергияси қаттиқ жисмлардаги эркин электронларнинг концентрациясига боғлиқ бўлар экан.
Температура абсолют нолдан фарқли бўлганда, электронлар р. дан юқориги энергетик ҳолатларда ҳам бўла оладилар. Чунки улар иссиқлик энергияси ҳисобига паст энергетик ҳолатдан юқори энергетик ҳолатлардан бирига кўтарила олади. Бундай ҳолларда электроннинг Ферми энергетик сатҳида бўлиш эҳтимоли 1/2 га тенг, ундан юқори энергетик ҳолатларда бўлиш эҳтимоли эса нолдан фарқлндир. берилган энергетик ҳолатда электроннинг туриш эҳтимолини ифодалагани сабабли •

шу энергетик ҳолатнинг электрондан холи бўлиш эҳтимолини беради. (4.20) дан фойдалансак учун қуйидаги ифодани оЛамиз:
(4.22)

Бу функция энергияси бўлган энергетик ҳолатда те- шикларнинг бўлиш эҳтимолини кўрсатади. Ярим ўтказ- гичлардаги ҳаракатчан тешиклар ана шу таҳсимот функциясига бўйсунадилар.

Энди баъзи хусусий ҳолларни кўриб чиқайлик. бўлсин. Ў ҳолда


деб ҳисоблаш мумкин. Натижада Ферми — Дирак таҳсимоти (4. 20)
- (4.23)
кўринишни ҳабул қилади. (4.22) да — > 1 генг-
сизлик бажарилса, тешиклар учун Ферми — Дирак тақсимот функцияси
/'(*) = е (4. 24)
формула орқали ифодаланади. (4.23) ва (4.24) формулаларни (4. 6) билан солиштирсак, Максвелл — Больцман тақсимоти Ферми —Дирак тақсимотининг хусусий доли эканлигини кўрамиз.
Ярим ўтказгичларда электронлар ва тешиклар кон- центрацияси 10²⁴ м, дан кам бўлса, Максвелл — Больцман та^симотфункциясига бўйсунади. Бунда электронлар айнимаган ҳолатда бўлиб, уларнинг концентрацияси температурага кучли боғланган бўлади. Электронларнинг ўртача энергияси температура ортиши билан ортиб боради.
Ярим ўтказгичлардаги электронларнинг концентрацияси 10²⁴ м~³ дан ортиб кетса, Ферми — Дирак тақси- мотишГқуллэш зарур. Қаттиқ жисмлардаги электронлар айниган ҳолатда бўлса, уларнинг концентрацияси тем- пературага жуда бўш боғланган бўлиб, температура таъсирини ҳисобга олмаса ҳам бўлади. Ҳақиқатан ҳам, металларда электронлар концентрацияси температурага бошлиқ эмас. Юқори легирланган ярим ўтказгичларда ҳам шу ҳодиса кузатилади.
V боб
ЯРИМ ЎТКАЗГИЧЛАРДАГИ ЗАРЯД ТАШУВЧИЛАР
КОНЦЕНТРАЦИЯСИ
Биз бу бобда ярим ўтказгичларда электронлар ва тешикларнинг концентрациясини ҳисоблаш усулларини кўриб чиқамиз. Заряд ташувчилар термик мувозанат ҳолатда бўлган вақтда Ферми энергетик сатҳининг ярим ўтказгичлар энергетик зоналар схемасида тутган ўрнини аниқлаймиз.

21.