Масъул муҳаррир: Файзиев Шохруд Фармонович, ю ф. д., доцент

Ключовие слова: Матрица, стержень, включения, пластическая зона, краевые 
эффекты, напряжения, деформация, трещина. 
Постановка задачи для полого и сплошного стержня. Пусть в упругом 
бесконечном пространстве имеется упругое включение из другого, гораздо более 
жесткого материала в форме прямого кругового цилиндра радиуса r
0
и длины 2l причем 
l>>r
0
(рис.1) 
Вдоль всей боковой поверхности цилиндр сцеплен с матрицей. Заделка цилиндра в 
матрицу произошла без начального натяга при некоторой постоянной температуре Т, 
которую без ограничения общности можно считать равной нулю при t < 0, где t – время. 
При этом в начальном состоянии при Т=0 все внутренние напряжения будут нулевыми. 
Теплопроводность цилиндра считаем гораздо большей, чем у матрицы, так как 
подземные и горные породы обычно являются гораздо более пористыми по сравнению со 
стержнем. 
Пусть в некоторый момент времени t
0

температура изменилась и стала равной T0  
(Т > 0), оставаясь постоянной во всем теле. Требуется определить возникающее при этом 
поле термоупругих напряжений. 
Нетрудно проверить, что в случае переменного температурного поля уравнение [1] 
теории пограничного слоя сохранится, однако величина будет некоторой функцией х, 
определяемой из решения тепловой задачи. Найдем частное решение дифференциального 
уравнения [1] для произвольно заданной функции 
. Частное решение уравнение [1] 
представим в следующем виде 
. 
(1) 
Тогда общее решение уравнения [1] для произвольного температурного поля 
запишется в следующем виде 
, 
(2) 
где D
1
и D
2
– произвольные постоянные интегрирования. 
x 
r 
2 r
0 
2 l 
Рис. 1 

---

168
17
В частности, если тонкий жесткий высокотеплопроводный стержень находится в 
продольном тепловом потоке, то температура в стержне дается уравнением [2], где 
постоянные С
1
и С
2
зависят от расположения стержня в тепло защитной стенке. Вычисляя 
интегралы из (2), найдем 
(3) 
Пусть концы стержня свободны от внешних сил, то есть 
=0 при х=l.
(4) 
Подставляя (4) принятое решение в (3), найдем 
,
, 
где 
. (5) 
Отсюда найдем 
,
(6) 
.
(7) 
Таким образом, наличие теплового потока через теплозащитную стенку с инородным 
включением в форме тонкого жесткого высокотеплопроводного стержня приводит к 
местному полю внутренних термоупругих напряжений, которые определяются 
формулами (3), (5) - (7) 
Дана общая постановка задачи определения НДС цилиндрического и конического 
включения и пограничного слоя матрицы, находящихся в нагретом до некоторой 
постоянной или переменной температуры упругом пространстве. Получено аналитическое 
решение задачи и проведены численные экспериментальные исследования методом 
конечных элементов. Построены эпюры распределения вдоль включения, определены 
экстремальные значения приведенных касательных и нормальных напряжений. Показано, 
что наличие теплового потока через теплозащитную стенку с инородным включением в 
форме тонкого жесткого высокотеплопроводного стержня приводит к местному полю 
внутренних термоупругих напряжений [2]. 
ЛИТЕРАТУРА 
1. Прочность гибких элементов и трубопроводов бурильных установок. Бишкек.
Илим. 2001. 251 с. 
2. Исследование трещины в хрупких включения и матрицах. Композиционные 
материалы Научно-технический и производственный журнал. Ташкент № 2/2018 

---

169