Matematik statistika

Ehtimoliy-statistik usullar va optimallashtirish. Optimallashtirish g'oyasi zamonaviy amaliy matematik statistika va boshqa statistik usullarga kiradi. Ya'ni, eksperimentlarni rejalashtirish usullari, statistik qabul qilishni nazorat qilish, texnologik jarayonlarni statistik nazorat qilish va boshqalar. Boshqa tomondan, qarorlar nazariyasidagi optimallashtirish formulalari, masalan, mahsulot sifatini optimallashtirishning amaliy nazariyasi va standart talablar, keng qo'llanilishini ta'minlaydi. ehtimollik-statistik usullar, birinchi navbatda amaliy matematik statistika.
Ishlab chiqarishni boshqarishda, xususan, mahsulot sifati va standart talablarini optimallashtirishda statistik usullarni qo'llash ayniqsa muhimdir. dastlabki bosqich mahsulotning hayot aylanishi, ya'ni. eksperimental konstruktorlik ishlanmalarini tadqiqot tayyorlash bosqichida (mahsulotlarga istiqbolli talablarni ishlab chiqish, dastlabki loyiha, eksperimental loyihani ishlab chiqish uchun texnik topshiriqlar). Bu mahsulotning hayot aylanishining dastlabki bosqichida mavjud bo'lgan cheklangan ma'lumotlar va kelajak uchun texnik imkoniyatlar va iqtisodiy vaziyatni bashorat qilish zarurati bilan bog'liq. Statistik usullar optimallashtirish muammosini hal qilishning barcha bosqichlarida - o'zgaruvchilarni masshtablashda, mahsulotlar va tizimlarning ishlashi uchun matematik modellarni ishlab chiqishda, texnik va iqtisodiy tajribalarni o'tkazishda va hokazolarda qo'llanilishi kerak.
Optimallashtirish masalalarida, jumladan mahsulot sifati va standart talablarini optimallashtirishda statistikaning barcha sohalaridan foydalaniladi. Ya'ni, tasodifiy o'zgaruvchilar statistikasi, ko'p o'lchovli statistik tahlil, tasodifiy jarayonlar va vaqt qatorlari statistikasi, sonli bo'lmagan tabiatdagi ob'ektlar statistikasi. Aniq ma'lumotlarni tahlil qilish uchun statistik usulni tanlash bo'yicha tavsiyalar ishlab chiqilgan.

Tarkib.
1.Kirish:

- Ehtimollar va matematik statistika qanday qo'llaniladi? - 2-sahifa
- “Matematik statistika” nima? - 3-bet
2) Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikani qo'llash misollari:
- Tanlov. - 4-bet
- Baholash vazifalari. – 6-bet
- ehtimollik-statistik usullar va optimallashtirish. – 7-bet
3) Xulosa.
Kirish.
Ehtimollik va matematik statistika qanday qo'llaniladi? Bu fanlar ehtimollik-statistik qarorlar qabul qilish usullarining asosi hisoblanadi. Ularning matematik apparatidan foydalanish uchun qaror qabul qilish masalalarini ehtimollik-statistik modellar yordamida ifodalash kerak. Qaror qabul qilishning aniq ehtimollik-statistik usulini qo'llash uch bosqichdan iborat:
- iqtisodiy, boshqaruv, texnologik haqiqatdan mavhum matematik va statistik sxemaga o'tish, ya'ni. boshqaruv tizimining ehtimollik modelini, texnologik jarayonni, qaror qabul qilish tartibini, xususan, statistik nazorat natijalari asosida va boshqalarni qurish.
- ehtimolli model doirasida sof matematik vositalar yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirish va xulosalar olish;
- real vaziyatga nisbatan matematik va statistik xulosalarni talqin qilish va tegishli qaror qabul qilish (masalan, mahsulot sifatining belgilangan talablarga muvofiqligi yoki nomuvofiqligi, texnologik jarayonni tuzatish zarurati va boshqalar to'g'risida), xususan , xulosa (partiyadagi nuqsonli mahsulot birliklarining nisbati, texnologik jarayonning boshqariladigan parametrlarini taqsimlash qonuniyatlarining o'ziga xos shakli bo'yicha va boshqalar).
Matematik statistikada ehtimollar nazariyasi tushunchalari, usullari va natijalaridan foydalaniladi. Iqtisodiy, boshqaruv, texnologik va boshqa vaziyatlarda qaror qabul qilishning ehtimollik modellarini qurishning asosiy masalalarini ko'rib chiqaylik. Qaror qabul qilishning ehtimollik-statistik usullari bo'yicha normativ-texnik va ko'rsatma-uslubiy hujjatlardan faol va to'g'ri foydalanish uchun dastlabki bilimlar kerak. Shunday qilib, u yoki bu hujjat qanday sharoitlarda qo'llanilishi, uni tanlash va qo'llash uchun qanday dastlabki ma'lumotlarga ega bo'lishi kerakligi, ma'lumotlarni qayta ishlash natijalariga ko'ra qanday qarorlar qabul qilinishi kerakligini bilish kerak.
"Matematik statistika" nima? Matematik statistika deganda "matematikaning statistik ma'lumotlarni yig'ish, tizimlashtirish, qayta ishlash va izohlash, shuningdek, ilmiy yoki amaliy xulosalar qilish uchun foydalanishning matematik usullariga bag'ishlangan bo'limi tushuniladi. Matematik statistika qoidalari va protseduralari ehtimollar nazariyasiga asoslanadi, bu esa mavjud statistik material asosida har bir masala bo'yicha olingan xulosalarning to'g'riligi va ishonchliligini baholash imkonini beradi. Shu bilan birga, statistik ma'lumotlar ma'lum xususiyatlarga ega bo'lgan ko'proq yoki kamroq kengroq to'plamdagi ob'ektlar soni haqidagi ma'lumotlarni anglatadi.
Yechilayotgan masalalar turiga ko‘ra, matematik statistika odatda uch bo‘limga bo‘linadi: ma’lumotlarni tavsiflash, baholash va gipotezani tekshirish.
Qayta ishlangan statistik ma'lumotlar turiga ko'ra, matematik statistika to'rt sohaga bo'linadi:
Bir o'lchovli statistika (tasodifiy o'zgaruvchilar statistikasi), bunda kuzatish natijasi haqiqiy son bilan tavsiflanadi;
Ko'p o'lchovli statistik tahlil, bunda ob'ektni kuzatish natijasi bir nechta raqamlar (vektor) bilan tavsiflanadi;
Kuzatish natijasi funktsiya bo'lgan tasodifiy jarayonlar va vaqt seriyalari statistikasi;
Kuzatish natijasi raqamli bo'lmagan xususiyatga ega bo'lgan, masalan, to'plam (geometrik shakl), tartib yoki o'lchash natijasida olingan noaniq tabiatdagi ob'ektlar statistikasi. sifatli xususiyatdir.
Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikani qo'llash misollari.
Keling, ehtimollik-statistik modellar boshqaruv, ishlab chiqarish, iqtisodiy va milliy iqtisodiy muammolarni hal qilish uchun yaxshi vosita bo'lgan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, masalan, lot sifatida ishlatiladigan tanga "nosimmetrik" bo'lishi kerak, ya'ni. u tashlanganda, o'rtacha, yarmida gerb tushishi kerak, yarmida esa - panjara (dumlar, raqam). Ammo "o'rtacha" nimani anglatadi? Agar siz har bir seriyada 10 ta otishdan iborat ko'p seriyalarni o'tkazsangiz, unda ko'pincha tanga gerb bilan 4 marta tushadigan seriyalar bo'ladi. Nosimmetrik tanga uchun bu seriyaning 20,5% da sodir bo'ladi. Va agar 100 000 otish uchun 40 000 gerb bo'lsa, tangani simmetrik deb hisoblash mumkinmi? Qaror qabul qilish tartibi ehtimollik nazariyasi va matematik statistikaga asoslanadi.
Ko'rib chiqilayotgan misol etarlicha jiddiy ko'rinmasligi mumkin. Biroq, unday emas. Chizma lotlar sanoat texnik-iqtisodiy tajribalarini tashkil etishda keng qo'llaniladi, masalan, turli texnologik omillarga (saqlanish muhitining ta'siri, o'lchashdan oldin podshipniklarni tayyorlash usullari) qarab podshipniklarning sifat indeksini (ishqalanish momentini) o'lchash natijalarini qayta ishlashda. , o'lchash jarayonida rulman yukining ta'siri va boshqalar).P.). Aytaylik, rulmanlarning sifatini turli xil konservativ moylarda saqlash natijalariga qarab solishtirish kerak, ya'ni. A va B tarkibidagi moylarda. Bunday tajribani rejalashtirayotganda, qaysi podshipniklarni yog 'tarkibiga A, qaysilarini esa B yog' tarkibiga qo'yish kerak, lekin sub'ektivlikdan qochish va ob'ektivlikni ta'minlaydigan tarzda savol tug'iladi. qaror.
Namuna
Bu savolga javobni qur’a tashlash orqali olish mumkin. Shunga o'xshash misolni har qanday mahsulot sifatini nazorat qilish bilan ham keltirish mumkin. Tekshirilayotgan mahsulot partiyasi belgilangan talablarga javob beradimi yoki yo'qligini aniqlash uchun undan namuna olinadi. Namuna nazorati natijalariga ko'ra butun partiya to'g'risida xulosa chiqariladi. Bunday holda, namunani shakllantirishda sub'ektivlikka yo'l qo'ymaslik juda muhim, ya'ni nazorat qilinadigan partiyadagi har bir mahsulot birligi namunada tanlanish ehtimoli bir xil bo'lishi kerak. Ishlab chiqarish sharoitida namunadagi ishlab chiqarish birliklarini tanlash odatda lot bo'yicha emas, balki tasodifiy sonlarning maxsus jadvallari yoki kompyuter tasodifiy sonlar generatorlari yordamida amalga oshiriladi.
Taqqoslashning ob'ektivligini ta'minlashning shunga o'xshash muammolari ishlab chiqarishni tashkil etish, ish haqi to'lashning turli sxemalarini taqqoslashda, tender va tanlovlarni o'tkazishda, bo'sh lavozimlarga nomzodlarni tanlashda va hokazolarda yuzaga keladi. Hamma joyda sizga lotereya yoki shunga o'xshash protseduralar kerak. Keling, Olimpiya tizimi bo'yicha turnir tashkil etishda eng kuchli va ikkinchi kuchli jamoani aniqlash misolidan foydalanib tushuntiramiz (mag'lubiyatga uchragan). Kuchli jamoa har doim kuchsizni yutadi. Eng kuchli jamoa albatta chempion bo'lishi aniq. Ikkinchi kuchli jamoa finalgacha bo'lajak chempion bilan o'yin o'tkazmasagina finalga chiqadi. Agar shunday o'yin rejalashtirilgan bo'lsa, unda ikkinchi kuchli jamoa finalga chiqa olmaydi. Turnirni rejalashtirgan kishi ikkinchi kuchli jamoani turnirdan muddatidan oldin “nokaut” qilishi, yetakchi bilan birinchi uchrashuvdayoq uni tushirib yuborishi yoki finalgacha kuchsizroq jamoalar bilan uchrashuvlar o‘tkazilishini ta’minlab, ikkinchi o‘rinni egallashi mumkin. Subyektivlikka yo'l qo'ymaslik uchun qur'a tashlang. 8 ta jamoadan iborat turnir uchun eng kuchli ikki jamoaning finalda uchrashish ehtimoli 4/7 ni tashkil qiladi. Shunga ko'ra, 3/7 ehtimol bilan ikkinchi kuchli jamoa muddatidan avval turnirni tark etadi.
Mahsulot birliklarining har qanday o'lchovlarida (kaliper, mikrometr, ampermetr va boshqalar yordamida) xatolar mavjud. Tizimli xatolar mavjudligini aniqlash uchun xarakteristikalari ma'lum bo'lgan ishlab chiqarish birligini (masalan, standart namuna) qayta o'lchashni amalga oshirish kerak. Shuni esda tutish kerakki, tizimli xatoga qo'shimcha ravishda tasodifiy xato ham mavjud.
Shu sababli, o'lchov natijalaridan tizimli xatolik bor-yo'qligini qanday aniqlash mumkinligi haqida savol tug'iladi. Agar biz faqat keyingi o'lchov paytida olingan xato ijobiy yoki salbiy ekanligini qayd qilsak, bu muammoni avvalgisiga qisqartirish mumkin. Haqiqatan ham, keling, o'lchovni tanga otish bilan, ijobiy xatoni - gerbni yo'qotish bilan, salbiyni - panjara bilan taqqoslaylik (shkalaning etarli miqdordagi bo'linishlari bilan nol xato deyarli hech qachon sodir bo'lmaydi). Keyin tizimli xatoning yo'qligini tekshirish tanga simmetriyasini tekshirishga teng.
Ushbu mulohazalarning maqsadi tizimli xatoning yo'qligini tekshirish muammosini tanga simmetriyasini tekshirish muammosiga qisqartirishdir. Yuqoridagi mulohazalar matematik statistikada "belgilar mezoni" deb ataladigan narsaga olib keladi.
"Belgi testi" - statistik test, bu sizga namunaning p=1/2 parametri bilan binomial taqsimotga bo'ysunishi haqidagi nol gipotezani sinab ko'rish imkonini beradi. Belgilar testi median berilgan qiymatga (xususan, nolga) teng degan gipotezani, shuningdek ikkita bog'langan namunada siljishning yo'qligi (qayta ishlash effekti yo'q) gipotezasini tekshirish uchun parametr bo'lmagan statistik test sifatida ishlatilishi mumkin. . Shuningdek, u taqsimot simmetriyasi gipotezasini sinab ko'rishga imkon beradi, ammo buning uchun kuchliroq mezonlar mavjud - bitta namunali Wilcoxon testi va uning modifikatsiyalari.
Texnologik jarayonlarni statistik tartibga solishda matematik statistika usullariga asoslanib, texnologik jarayonlarning buzilishini o'z vaqtida aniqlash va ularni tartibga solish va mahsulotlarning chiqarilishini oldini olish choralarini ko'rishga qaratilgan jarayonlarni statistik nazorat qilish qoidalari va rejalari ishlab chiqiladi. belgilangan talablarga javob bermaydi. Bu chora-tadbirlar ishlab chiqarish tannarxini va sifatsiz mahsulotlar yetkazib berishdan kelib chiqadigan yo‘qotishlarni kamaytirishga qaratilgan. Statistik qabul nazorati bilan, matematik statistika usullariga asoslangan holda, mahsulot partiyalaridan namunalarni tahlil qilish orqali sifat nazorati rejalari ishlab chiqiladi. Qiyinchilik qarorlar qabul qilishning ehtimollik-statistik modellarini to'g'ri qura olishda, ular asosida yuqorida qo'yilgan savollarga javob berish mumkin. Matematik statistikada buning uchun taxminiy modellar va gipotezalarni tekshirish usullari ishlab chiqilgan, xususan, nuqsonli ishlab chiqarish birliklarining ulushi ma'lum bir p0 soniga teng bo'lgan farazlar, masalan, p0 = 0,23.
Baholash vazifalari.
Bir qator boshqaruv, ishlab chiqarish, iqtisodiy, milliy iqtisodiy vaziyatlarda boshqa turdagi muammolar paydo bo'ladi - ehtimollik taqsimotining xususiyatlari va parametrlarini baholash muammolari.
Bir misolni ko'rib chiqing. Boshqaruvga N ta elektr lampalar partiyasi kelsin. Ushbu partiyadan n ta elektr lampalar namunasi tasodifiy tanlangan. Bir qator tabiiy savollar tug'iladi. Namuna elementlarini sinash natijalari bo'yicha elektr lampalarning o'rtacha ishlash muddatini qanday aniqlash mumkin va bu xarakteristikani qanday aniqlik bilan baholash mumkin? Kattaroq namuna olinsa, aniqlik qanday o'zgaradi? Elektr lampalarining kamida 90% T yoki undan ko'p soat davom etishiga qancha soat T kafolat berish mumkin?
Faraz qilaylik, n ta elektr lampalar namunasini sinashda X elektr lampalar nosoz bo'lib chiqdi. Keyin quyidagi savollar tug'iladi. Partiyadagi nosoz elektr lampalarning D soni, D/N nuqsonlilik darajasi va hokazolar uchun qanday chegaralar belgilanishi mumkin?
Yoki texnologik jarayonlarning aniqligi va barqarorligini statistik tahlil qilishda nazorat qilinadigan parametrning o'rtacha qiymati va uning ko'rib chiqilayotgan jarayonda tarqalish darajasi kabi sifat ko'rsatkichlarini baholash kerak. Ehtimollar nazariyasiga ko'ra, tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati sifatida uning matematik kutilishidan, tarqalishning statistik xarakteristikasi sifatida dispersiya, standart og'ish yoki o'zgarish koeffitsientidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Bu savol tug'iladi: namunaviy ma'lumotlardan ushbu statistik xususiyatlarni qanday baholash mumkin va buni qanday aniqlik bilan amalga oshirish mumkin? Shunga o'xshash misollar ko'p. Bu erda statistik mahsulot sifatini boshqarish sohasida qarorlar qabul qilishda ehtimollik nazariyasi va matematik statistika ishlab chiqarishni boshqarishda qanday qo'llanilishi mumkinligini ko'rsatish muhim edi.
Ehtimoliy-statistik usullar va optimallashtirish. Optimallashtirish g'oyasi zamonaviy amaliy matematik statistika va boshqa statistik usullarga kiradi. Ya'ni, eksperimentlarni rejalashtirish usullari, statistik qabul qilishni nazorat qilish, texnologik jarayonlarni statistik nazorat qilish va boshqalar. Boshqa tomondan, qarorlar nazariyasidagi optimallashtirish formulalari, masalan, mahsulot sifatini optimallashtirishning amaliy nazariyasi va standart talablar, keng qo'llanilishini ta'minlaydi. ehtimollik-statistik usullar, birinchi navbatda amaliy matematik statistika.
Ishlab chiqarishni boshqarishda, xususan, mahsulot sifati va standart talablarini optimallashtirishda mahsulotning hayot aylanishining dastlabki bosqichida statistik usullarni qo'llash ayniqsa muhimdir, ya'ni. eksperimental konstruktorlik ishlanmalarini tadqiqot tayyorlash bosqichida (mahsulotlarga istiqbolli talablarni ishlab chiqish, dastlabki loyiha, eksperimental loyihani ishlab chiqish uchun texnik topshiriqlar). Bu mahsulotning hayot aylanishining dastlabki bosqichida mavjud bo'lgan cheklangan ma'lumotlar va kelajak uchun texnik imkoniyatlar va iqtisodiy vaziyatni bashorat qilish zarurati bilan bog'liq. Statistik usullar optimallashtirish muammosini hal qilishning barcha bosqichlarida - o'zgaruvchilarni masshtablashda, mahsulotlar va tizimlarning ishlashi uchun matematik modellarni ishlab chiqishda, texnik va iqtisodiy tajribalarni o'tkazishda va hokazolarda qo'llanilishi kerak.
Optimallashtirish masalalarida, jumladan mahsulot sifati va standart talablarini optimallashtirishda statistikaning barcha sohalaridan foydalaniladi. Ya'ni, tasodifiy o'zgaruvchilar statistikasi, ko'p o'lchovli statistik tahlil, tasodifiy jarayonlar va vaqt qatorlari statistikasi, sonli bo'lmagan tabiatdagi ob'ektlar statistikasi. Muayyan ma'lumotlarni tahlil qilish uchun statistik usulni tanlash tavsiyalarga muvofiq amalga oshirilishi kerak.
Xulosa.
IN
va hokazo.................
Matematik statistika deganda "matematikaning statistik ma'lumotlarni yig'ish, tizimlashtirish, qayta ishlash va izohlash, shuningdek, ilmiy yoki amaliy xulosalar qilish uchun foydalanishning matematik usullariga bag'ishlangan bo'limi tushuniladi. Matematik statistika qoidalari va protseduralari ehtimollar nazariyasiga asoslanadi, bu esa mavjud statistik material asosida har bir masala bo'yicha olingan xulosalarning to'g'riligi va ishonchliligini baholash imkonini beradi. Shu bilan birga, statistik ma'lumotlar ma'lum xususiyatlarga ega bo'lgan har qanday ko'proq yoki kamroq to'plamdagi ob'ektlar soni to'g'risidagi ma'lumotlarni anglatadi.
Yechilayotgan masalalar turiga ko‘ra, matematik statistika odatda uch bo‘limga bo‘linadi: ma’lumotlarni tavsiflash, baholash va gipotezani tekshirish.
Qayta ishlangan statistik ma'lumotlar turiga ko'ra, matematik statistika to'rt sohaga bo'linadi:
- bir o'lchovli statistika (tasodifiy o'zgaruvchilar statistikasi), bunda kuzatish natijasi haqiqiy son bilan tavsiflanadi;
- ko'p o'lchovli statistik tahlil, bunda ob'ektni kuzatish natijasi bir necha raqamlar (vektor) bilan tavsiflanadi;
- kuzatish natijasi funktsiya bo'lgan tasodifiy jarayonlar va vaqt qatorlari statistikasi;
- kuzatuv natijasi noaniq xususiyatga ega bo'lgan, masalan, to'plam (geometrik raqam), tartib yoki sifat atributi bo'yicha o'lchash natijasida olingan noaniq tabiatdagi ob'ektlar statistikasi.
Tarixiy jihatdan noaniq tabiatga ega bo'lgan ob'ektlar statistikasining ayrim yo'nalishlari birinchi bo'lib paydo bo'lgan (xususan, nikoh foizini baholash va u haqidagi farazlarni tekshirish muammolari) va bir o'lchovli statistika. Matematik apparat ular uchun soddaroq, shuning uchun ular misolida odatda matematik statistikaning asosiy g'oyalarini namoyish etadilar.
Faqat ma'lumotlarni qayta ishlash usullari, ya'ni. matematik statistika dalillarga asoslangan bo'lib, ular tegishli real hodisa va jarayonlarning ehtimollik modellariga asoslanadi. Biz iste'molchilarning xatti-harakatlari modellari, xavflarning paydo bo'lishi, texnologik jihozlarning ishlashi, tajriba natijalarini olish, kasallikning borishi va boshqalar haqida bormoqda. Haqiqiy hodisaning ehtimollik modeli, agar ko'rib chiqilayotgan miqdorlar va ular orasidagi bog'lanishlar ehtimollar nazariyasida ifodalangan bo'lsa, qurilgan deb hisoblash kerak. Haqiqatning ehtimollik modeliga mos kelishi, ya'ni. uning adekvatligi, xususan, gipotezalarni tekshirishning statistik usullari yordamida asoslanadi.
Ma'lumotlarni qayta ishlashning aql bovar qilmaydigan usullari kashfiyotdir, ular faqat ma'lumotlarni dastlabki tahlil qilishda qo'llanilishi mumkin, chunki ular cheklangan statistik materiallar asosida olingan xulosalarning to'g'riligi va ishonchliligini baholashga imkon bermaydi.
Hodisa yoki jarayonning ehtimollik modelini qurish va asoslash mumkin bo'lgan joyda ehtimollik va statistik usullar qo'llaniladi. Namuna ma'lumotlaridan olingan xulosalar butun populyatsiyaga (masalan, namunadan mahsulotning butun partiyasiga) o'tkazilganda ulardan foydalanish majburiydir.
Qo'llashning aniq sohalarida keng qo'llanilishining ehtimollik-statistik usullari ham, o'ziga xoslari ham qo'llaniladi. Masalan, ishlab chiqarishni boshqarishning mahsulot sifatini nazorat qilishning statistik usullariga bag'ishlangan bo'limida amaliy matematik statistika (shu jumladan tajribalarni loyihalash) qo'llaniladi. Uning usullari yordamida texnologik jarayonlarning aniqligi va barqarorligini statistik tahlil qilish va sifatni statistik baholash amalga oshiriladi. Maxsus usullarga mahsulot sifatini statistik qabul qilishni nazorat qilish, texnologik jarayonlarni statistik tartibga solish, ishonchlilikni baholash va nazorat qilish va boshqalar kiradi.
Ishonchlilik nazariyasi va navbat nazariyasi kabi amaliy ehtimollik-statistik fanlar keng qo'llaniladi. Ulardan birinchisining mazmuni sarlavhadan aniq bo‘lsa, ikkinchisi tasodifiy vaqtda qo‘ng‘iroqlarni qabul qiluvchi telefon stansiyasi kabi tizimlarni o‘rganish bilan bog‘liq – abonentlarning telefonlarida raqamlarni terish talablari. Ushbu talablarga xizmat ko'rsatish muddati, ya'ni. suhbatlar davomiyligi ham tasodifiy o'zgaruvchilar tomonidan modellashtirilgan. Ushbu fanlarning rivojlanishiga SSSR Fanlar akademiyasining muxbir a'zosi A.Ya. Xinchin (1894-1959), Ukraina SSR Fanlar akademiyasining akademigi B.V. Gnedenko (1912-1995) va boshqa mahalliy olimlar.