Matematik tahlil

F (t) = f (x) = f [x(t)] (4.6.10)
va uni t argumentning dt orttirmasiga mos kelgan ikkinchi differensialini hisoblaymiz.
Agar f va x funksiyalar ikki marta differensiallanuvchi bo'lsa, u holda F murakkab funksiya ham ikki marta differensiallanuvchi bo'lib,
F ^′′(t) = f ^′′[x(t)][x^′(t)]² + f ^′[x(t)]x^′′(t)
tenglik bajariladi.
Demak,
d²F = d²F (t, dt) = F ^′′(t)(dt)² = f ^′′[x(t)][x^′(t) dt]² + f ^′[x(t)]x^′′(t)(dt)². (4.6.11)
Agar, (4.6.9) ta'rifga ko'ra, x^′′(t)(dt)² = d²x ekanini hisobga olsak, u holda (4.6.10) va (4.6.11) dan

munosabatni olamiz.
d²f = f ^′′(x)(dx)² + f ^′(x)d²x (4.6.12)

Endi (4.6.9) va (4.6.12) ni taqqoslasak, shuni ko'rish mumkinki, x o'zgaruvchi boshqa t o'zgaruvchining funksiyasi bo'lgan vaqtda, ikkinchi differensialga qo'shimcha f ^′(x)d²x had qo'shilar ekan, bunda d²x - x o'zgaruvchining ikkinchi differensialidir. Shunday qilib, ikkinchi differensial ko'rinishi invariantlik xossasiga ega emas ekan.

4. 
   Ixtiyoriy tartibli differensiallar. Berilgan f funksiyaning n-tartibli differensiali
   

(n − 1)-tartibli differensialning differensizli sifatida induktiv ravishda aniqlanib,
dⁿf = f ⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ (4.6.13)
ko'rinishga ega bo'ladi.
Haqiqatan, faraz qilaylik, f funksiya biror intervalda n marta differntsiallanuvchi bo'lib, uning (n − 1)-differentsiali aniqlangan va bu differensial uchun
dⁿ⁻¹f = f ⁽ⁿ⁻¹⁾(x)(dx)ⁿ⁻¹ (4.6.14)
tenglik o'rinli bo'lsin.

−
Bundan chiqdi, f funksiuaning aniqlanishiga ko'ra, (n 1)-tartibli differentsial
x o'zgaruvchining differentsiallanuvchi funktsiyasi bo'lar ekan. Demak,


dⁿ⁻¹f (x + h, dx) − dⁿ⁻¹f (x, dx) = [f ⁽ⁿ⁻¹⁾(x + h) − f ⁽ⁿ⁻¹⁾(x)] (dx)ⁿ⁻¹ =
= [f ⁽ⁿ⁾(x) + α(x, h)]h (dx)ⁿ⁻¹.

Ravshanki, bu orttirmaning h bo'yicha chiziqli qismi

f ⁽ⁿ⁾(x) h (dx)ⁿ⁻¹ (4.6.15) ga teng. Ushbu (4.6.15) ifodaning h = dx dagi qiymati f funktsiyaning n-differentsiali deyiladi. Shunday ekan, bu ta'rif va (4.6.14) tenglikdan (4.6.13) formula bevosita kelib chiqadi.

≥
Agar x o'zgaruvchi yangi t o'zgaruvchining funksiyasi bo'lib, n 2 bo'lsa, f funksiyaning n-differentsiali uchun formula murakkabroq ko'rinishga ega ekanini ko'rsatish qiyin emas. Boshqacha aytganda, n-differensial ham, ikkinchi differensial kabi, invariantlik xossasiga ega bo'lmaydi.
Eslatma. Teylor formulasi differensiallarda quyidagicha yoziladi:

df
f (x + dx) − f (x) = _1! +
bu yerda
d²f ₊ 2!
d³f ₊ 3!
d⁴f

+ +
_4! ...
dⁿf

+ ( )
_n! R_n+1 x ,

R_n+1(x) =
dⁿ⁺¹f (ξ, dx) (n + 1)! ^.

4.7. Kompleks qiymatli funksiyalarni differensiallash

Ta'rif. Kompleks qiymatli va x haqiqiy o'zgaruvchili f (x) funksiyaning x = a

nuqtadagi hosilasi deb quyidagi limitga aytiladi :

lim

x→a
f(x) − f(a) x − a

= f ^′(x). (4.7.1)

4.7.1 - Tsdiq. Kompleks qiymatli va x haqiqiy o'zgaruvchili f (x) = u(x) + iv(x)
funksiyasi differensiallanuvchi bo'lishi uchun uning haqiqiy u(x) va mavhum v(x)
qismlarining differensiallanuvchi bo'lishi zarur va yetarli.
Isbot bevosita hosila ta'rifidan kelib chiqadi. Ravshanki, kompleks qiymatli funksiya hosilasi

ga teng.

Masalan, agar
f ^′(x) = u^′(x) + iv^′(x) (4.7.2)

bo'lsa, bo'ladi.
e(x) = cos x + i sin x e^′(x) = − sin x + i cos x

Kompleks qiymatli funksiyalarni differentsiallash amali xuddi haqiiqy funksiyalar
holidagidek xossalarga ega.
Misol tariqasida ikki kompleks qiymatli funksiyalar ko'paytmasining hosilasi uchun

formulani isbotlaymiz.

(fg)^′ = f ^′g + fg^′ (4.7.3)

Faraz qilaylik, f = u + iv va g = p + iq funksiyalar differensiallanuvchi bo'lsin.

U holda, 4.7.1 - Tasdiqqa ko'ra,


fg = (up − vq) + i(uq + vp)
formulada u, v, p va q lar differensiallanuvchi haqiqiy funksiyalar bo'ladi.
Demak, yana 4.7.1 - Tasdiqqa ko'ra, ko'paytma ham differensiallanuvchi ekan.
Endi (4.7.2) formulani va haqiqiy funksiyalar ko'paytmalarini differensiallash qoidasini qo'llasak,

(fg)^′ = (u^′p + up^′ − v^′q − vq^′) + i(u^′q + uq^′ + v^′p + vp^′)

tenglikni olamiz.
Bundan talab qilinayotgan (4.7.3) formula bevosita kelib chiqadi:

(fg)^′ = (u^′ + iv^′)(p + iq) + (u + iv)(p^′ + iq^′) = f ^′g + fg^′.

Yana bir misol tariqasida kompleks qiymatli f funksiya a nuqtada differensiallanuvchi

1

bo'lib, f (a) =/ 0 bo'lganda, _f funksiyaning shu nuqtadagi hosilasini topamiz.
Shunday qilib, f = u + iv funksiya a nuqtada differensiallnuvchi bo'lsin. U holda, 4.7.1 - Tasdiqqa asosan, har ikki u va v funksiyalar ham shu nuqtada diffrensiallanuvchi bo'ladi. Yana 4.7.1 - Tasdiqni qo'llab, o'z-o'zidan ko'rinib turgan


1 ₌ 1 ₌ u _{− i} v
f u + iv u² + v² u² + v²

1

tenglikka ko'ra,

f

bo'lamiz.
funktsiya ham a nuqtada differensiallanuvchi ekaniga iqror

1

Shunday ekan, g =

f

ni olamiz.
deb belgilab, (4.7.3) formulaga asosan,
(fg)^′ = f ^′g + fg^′ = ^f ′ + fg^′

f

Modomiki (fg)^′ ≡ 0 ekan, oxirgi tenglikdan

g^′ = − ¹

_f ′ _{= − f} ′

hosil bo'ladi.

Shunday qilib,
f f f ²

f

_f 2
¹ ′ = − ^f ′ . (4.7.4)
Haqiqiy va mavhum qismlari elementar funksiyalar bo'lgan kompleks qiymatli funksiyalarning hosilalari, (4.7.2) formulani qo'llab, oson topiladi.

1. 
   
   /
   - Misol. Aytaylik, c = a + ib bo'lib, bunda a va b haqiqiy sonlar b = 0
   

shartni qanoatlantirsin. Ushbu

b
Φ(x, c) = ln ^√(x − a)² + b² + i arctg ^{x − a}

(4.7.5)

funksiya hosilasi topilsin.

Yechish. Hosilani hisoblash uchun biz (4.2.27) va (4.2.28) tengliklar hamda (4.7.2) fomuladan foydalanamiz. Natijada
Φ^′(x, c) = ^{x − a} + i ^b =
(x − a)² + b² (x − a)² + b²
₌ x − a + ib ₌ x − c ₌ 1

−
(x − a)² + b² |x − c|² x − c
munosabatni olamiz, bu yerda c = a ib, ya'ni c ga qo'shma sondir .
Shunday qilib,

Φ^′(x, c) = ¹
x − c


. (4.7.6)

Yuqori tartibli hosilalar ham shunga o'xshash hisoblanadi.

2. 
   - Misol. Yana c = a + ib deymiz, bunda a va b lar haqiqiy sonlar bo'lib,
   

b /= 0. Yuqoridagi (4.7.5) funksiyaning n - tartibli hosilasi topilsin.
Yechish. Agar (4.7.6) tenglikni ketma-ket differensiallasak,

tenglikni olamiz.

Φ⁽ⁿ⁾( ) = ( 1)^{n−1 (n − 1)!}

x, c −
(x − c)ⁿ

(4.7.7)

(4.7.7) tenglikni quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

(−1)ⁿ⁻¹ (n − 1)!

Φ⁽ⁿ⁾(x, c

) = ¹ . (4.7.8)
(x − c)ⁿ

Demak, (4.7.8) tenglikning o'ng tarafidagi funksiya oshkor ko'rinishda yoziladigan biror elementar funksiyaning hosilasi ekan.

√
Eslatma. Agar c = a + ib bo'lsa,
(x − a)² + b² = |x − c|
bo'ladi va shuning uchun, (4.7.5) funksiyani

b
Φ(x, c) = ln |x − c| + i arctg ^{x − a}, Im c = b /= 0, (4.7.9)
ko'rinishda yozish mumkin.
Agarda b = Im c = 0 bo'lsa, Φ(x, c) funksiyani quyidagicha aniqlasak bo'ladi:
Φ(x, c) = ln |x − c|, Im c = 0. (4.7.10) Bunda, albatta, hosila uchun (4.7.6) va (4.7.8) tengliklar o'rinli bo'lib qolaveradi.
Shunday qilib, ixtiyoriy kompleks c soni va ixtiyoriy natural n uchun

d (−1)ⁿ⁻¹


_Φ(n−1)₍