Matematik tahlil

Q.E.D.

Ro'll teoremasi sodda geometrik ma'noga ega: agar funksiya intervalning chetki nuqtalarida bir xil qiymatlarga ega bo'lsa, u holda grafikka o'tkazilgan urinma biror nuqtada abssissa o'qiga parallel bo'ladi.

Ro'll teoremasi mexanik ma'noga ham ega: agar to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanayotgan nuqta boshlang'ich holatiga qaytsa, u holda uning tezligi biror vaqt momentida
nolga aylanadi.

2. 
   - Teorema (J.L.Lagranj). Agar f funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo'lib, (a, b) intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsa, u holda (a, b) interval ichida shunday ξ nuqta topiladiki, bu nuqtada
   

f (b) − f (a) = f ^′(ξ)(b − a), a < ξ < b, (4.4.1)

tenglik bajariladi.
Isbot. Quyidagi
funksiyani qaraymiz.


g(x) = f (x) ^{f(b) − f(a)} (x a)

— −
b − a

Bevosita tekshirish orqali
g(a) = f (a), g(b) = f (a)
tengliklar bajarilishini ko'rish mumkin.

∈
Demak, g(x) funksiya Ro'll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi va shu teoremaga asosan, shunday ξ (a, b) nuqta topiladiki, g^′(ξ) = 0 bo'ladi. Shuning uchun,

−
g^′(ξ) = f ^′(ξ) ^{f(b) − f(a)} = 0.
b − a
Bu tenglik, ravshanki, (4.4.1) munosabat o'rinli ekanini anglatadi.

Q.E.D.

Natija. Agar f funksiya (a, b) intervalda differensiallanuvchi bo'lib, bu intervalning har bir nuqtasida
f ^′(x) = 0
bo'lsa, shunday C o'zgarmas topiladiki, u uchun
f (x) = C, x ∈ (a, b),
tenglik bajariladi.

∈ ∈
Haqiqatan, (4.4.1) ga ko'ra, har qanday ikki x₁ (a, b) va x₂ (a, b) nuqtalar uchun


f (x₂) − f (x₁) = f ^′(ξ)(x₂ − x₁) = 0
tenglik o'rinli, ya'ni f (x₁) = f (x₂) = const, bu yerda const orqali biror o'zgarmas belgilangan.

1. 
   - Eslatma. (4.4.1) formulaning geometrik ma'nosi quyidagidan iborat: differensiallanuvchi funksiya grafigining istalgan ikki a va b abssissalik nuqtalaridan o'tuvchi to'g'ri
   

chiziq uchun grafikning ξ abssissalik shunday nuqtasi topiladiki, grafikka shu nuqtada
o'tkazilgan urinma o'sha to'g'ri chiziqqa parallel bo'ladi.

2. 
   - Eslatma. Agar (4.4.1) formulada a = x va b = x + h desak, bu formula
   

f (x + h) − f (x) = f ^′(ξ) · h, x < ξ < x + h, (4.4.2)

ko'rinishga keladi.

Bu (4.4.2) tenglikning chap tarafida f funksiyaning argumentini h orttirmasiga mos kelgan chekli (ya'ni limitga o'tilmagandagi) orttirmasi turibdi. Shuning uchun, (4.4.2) formulani (shu bilan birga (4.4.1) formulani ham) chekli orttirmalar formulasi deb atalashadi.

3. 
   - Eslatma. Modomiki (4.4.2) formuladagi ξ nuqta x va x + h nuqtalar orasida yotar ekan, 0 < θ < 1 shartni qanoatlantiruvchi shunday θ nuqta topiladiki, u uchun ξ = x + θh tenglik bajariladi. Shu sababli (4.4.2) formulani quyidagi
   

f (x + h) − f (x) = f ^′(x + θh)h, 0 < θ < 1,
ko'rinishda yozish mumkin. Shubhasiz, bu tenglikda θ nuqta ξ va h lardan bog'liqdir. Navbatdagi formula Lagranj chekli orttirmalar formulasining umumlashgan holidir.

3. 
   - Teorema (O.Koshi). Ikki f va g funksiyalar [a, b] kesmada uzluksiz va
   

(a, b) intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsin.
Agar g funksiyaning hosilasi (a, b) intervalning barcha nuqtalarida noldan farqli bo'lsa, bu interval ichida shunday ξ nuqta topiladiki, u uchun

tenglik bajariladi. Isbot. Quyidagi

f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
= ^f ′^(ξ) , a < ξ < b, (4.4.3)
g^′(ξ)

ϕ(x) = [f (x) − f (a)][g(b) − g(a)] − [g(x) − g(a)][f (b) − f (a)] (4.4.4) funksiyani qaraymiz.
Ravshanki,
ϕ(a) = ϕ(b) = 0.

∈
Demak, ϕ funksiya Ro'll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi va shu teoremaga asosan, shunday ξ (a, b) nuqta topiladiki, ϕ^′(ξ) = 0 bo'ladi. Shuning uchun, (4.4.4) ga ko'ra,

— / ∈ /
f ^′(ξ)[g(b) − g(a)] − g^′(ξ)[f (b) − f (a)] = 0. (4.4.5) Ravshanki, g(b) g(a) = 0, chunki barcha x (a, b) nuqtalarda g^′(x) = 0
bo'lgani uchun g(a) = g(b) tenglik Ro'll teoremasiga zid bo'lar edi. Shunday ekan,

−
(4.4.5) tenglikning har ikki tarafini g^′(ξ)[g(b) g(a)] songa bo'lib yuborsak, talab qilingan (4.4.3) tenglikni olamiz.

Q.E.D.

Koshi teoremasi limitlarni hisoblashda asqatadi. Darhaqiqat, aniqmasliklarni ochishda u nihoyatda foydalidir.
Chunonchi, agar
0

0. 
   ko'rinishdagi
   

lim f (x) = lim g(x) = 0 (4.4.6)

f (x)
x→a

0

x→a

bo'lsa, x → a da _g(x) nisbat ₀ ko'rinishdagi aniqmaslikka ega deyiladi.
Mana shu aniqmaslikni ochish deganda biz

lim

f (x)
(4.4.7)

^x→a g(x)
limitni, u mavjud bo'lgan hollarda, hisoblashni tushunamiz.

0

Xuddi shu singari x → a + 0 da ₀ aniqmaslik tushunchasi kiritiladi.
Navbatdagi teorema shunday aniqmaslikni ochishning bir usulini beradi.

4. 
   
   /
   - Teorema (Lopital qoidasi). Ikki f va g funksiyalar a < x < x + δ intervalda differensiallanuvchi bo'lib, shu intervalda g^′(x) = 0 bo'lsin. Bundan tashqari
   

tengliklar bajarilsin.

lim
x→a+0
f (x) = lim
x→a+0
g(x) = 0 (4.4.8)

U holda, agar quyidagi (chekli yoki cheksiz)

lim

f ^′(x)

limit mavjud bo'lsa,

^x→a+0 g^′(x)

lim

f (x)

limit ham mavjud bo'lib,

lim

^x→a+0 g(x)


f (x) _{= lim}
f ^′(x)

(4.4.9)

tenglik bajariladi.

^x→a+0 g(x)
^x→a+0 g^′(x)

Isbot. f va g funksiyalarni a nuqtada nolga teng deb aniqlaymiz (e'tibor bering,
f va g funksiyalar a nuqtada aniqlanmagan edi):
f (a) = g(a) = 0.
Endi bu ikki funksiya [a, x] kesmada uzluksiz bo'lib, Koshi teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi.

{ }
Faraz qilaylik, x_n - a nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo'lsin.
Koshi formulasini qo'llab,

f(x_n)
g(x_n)
₌ f(x_n) − f(a)
g(x_n) − g(a)
₌ f ^′(ξ_n)
g^′(ξ_n)

(4.4.10)

munosabatni olamiz, bu yerda ξ_n nuqta a < ξ_n < x_n shartni qanoatlantiradi.

→ →
Albatta, x_n a + 0 bo'lganda, ξ_n a + 0 bo'ladi. Shunday ekan, agar (4.4.10) munosabatning o'ng tarafidagi kasrning limiti (chekli yoki cheksiz) mavjud bo'lsa, uning chap tarafidagi kasr limiti ham mavjud bo'lib, bu limitlar o'zaro teng bo'ladi.

Q.E.D.

1. 
   - Misol. Limitni hisoblang:
   

A = lim
sin 2x

.

Lopital qoidasini qo'llab,
^x→0 x + 2x²

2 cos 2x

tenglikni olamiz.

A = lim
x→0
1 + 4x ^{= 2}

2. 
   - Misol. Limitni hisoblang:
   

Lopital qoidasini qo'llab,


A = lim
x→0
A = lim

0. 
   − cos 2x_. x² + sin²
   

0. sin 2x

tenglikni olamiz.

^x→0 2x + sin 2x

Yana bir marta Lopital qoidasini qo'llasak,

4 cos 2x

A = lim = 1
^x→0 2 + 2 cos 2x
tenglikni olamiz.

4.5. Teylor formulasi

1. 
   Teylor polinomlari. Agar f funksiya a nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi bo'lsa, u holda, yuqorida ko'rganimizdek, quyidagi
   

f (x) = f (a) + f ^′(a) (x − a) + α(x) (x − a),

→
tenglik bajariladi, bu yerda α(x) funksiya x a da cheksiz kichikdir. Bu formulaning o'ng tarafidagi birinchi ikki hadi quyidagi chiziqli funksiyadir (ya'ni birinchi tartibli ko'phaddir):
P (x) = f (a) + f ^′(a) (x − a).
Ravshanki, bu funksiya uchun
P (a) = f (a), P ^′(a) = f ^′(a)
tengliklar o'rinli bo'lib, u a nuqtaning yetarlicha kichik atrofida berilgan f (x)
funksiyaga istalgancha yaqin bo'ladi.
Endi, faraz qilaylik, f funksiya a nuqtaning biror atrofida n - tartibgacha hosilalarga ega bo'lsin. Shunday n - tartibli P (x) polinom topishga harakat qilamizki, uning n
- tartibgacha barcha hosilalari f funksiyaning mos hosilalariga teng bo'lsin, ya'ni


P (a) = f (a), P ^′(a) = f ^′(a), ..., P ⁽ⁿ⁾(a) = f ⁽ⁿ⁾(a) (4.5.1)
tengliklar bajarilsin.

n
Shu maqsadda n - tartibli Teylor polinomi deb ataluvchi polinomni quyidagi tenglik orqali aniqlaymiz:

P_n(x, f ) =
kΣ=0
_(k) (x − a)^k

f (a) .
k!

Ravshanki, x = a bo'lganda

tenglik o'rinli.

P_n(a, f ) = f (a)

n
Bundan tashqari, bevosita ta'rifdan

P_n^′ (x, f ) =
kΣ=0


f ^(k)(a)
k(x − a)^k−1 k!