dx
Qulaylik uchun, ba'zan 0 - tartibli hosila deb funksiyaning o'zi tushiniladi, ya'ni
f (0)(x) ≡ f (x).
Ba'zi funksiyalarning n-tartibli hosilasini hisoblashga misollar keltiramiz.
- Misol. Quyidagi
f (x) = sin x, −∞ < x < ∞,
funksiyani qaraymiz.
Uning hosilasi
ko'rinishga ega.
(sin x)′ = cos x = sin x + π
2
Demak, sinus funksiyasini differensiallash argumentni π/2 qiymatga surishdan iborat ekan. Bundan, induksiyaga ko'ra,
2
(sin x) (n) = sin x + π n , n ∈ N , −∞ < x < ∞ , (4.2.29)
formulani olamiz.
- Misol. Quyidagi formula xuddi yuqoridagidek isbotlanadi:
2
(cos x) (n) = cos x + π n , n ∈ N , −∞ < x < ∞ . (4.2.30)
- Misol. Endi
f ( x) = ln x, x > 0 ,
logarifmik funksiyani qaraymiz.
Uning hosilalari quyidagicha aniqlanadi
x
x2
x3
(ln x)′ = 1 , (ln x)′′ = − 1 , (ln x)′′′ = 2 , ...
Bu tengliklardan n - hosila uchun quyidagi hulosaga kelish mumkin:
— ∈
(ln x)(n) = ( 1)n+1 (n − 1)! , n N, x > 0. (4.2.31)
xn
Bu formula bevosita induksiya usuli yordamida isbotlanadi.
- Misol. Agar a > 0, a =/ 1 bo'lsa,
f (x) = ax, −∞ < x < ∞,
funksiyani qaraymiz.
Bu funksiya hosilasi
ga teng.
(ax)′ = ax · ln a
Demak, bu funksiyani differensiallash uchun uni asosning natural logarifmiga ko'paytirish kerak ekan. Bundan chiqdi, ko'rsatkichli funksiyaning n-hosilasi quyidagi
(ax)(n) = ax · (ln a)n. (4.2.32) ko'rinishga ega bo'lishini ko'rish qiyin emas.
n
7. Leybnits formulasi. Agar u va v funksiyalar biror intervalda n marta differensiallanuvchi bo'lsa, ularning ko'paytmasi uv ham n marta differensiallanuvchi bo'lib, quyidagi
(uv)(n) =
Leybnits formulasi o'rinli bo'ladi.
kΣ=0
n! u(k)v(n−k) (4.2.33)
k!( n − k)!
Bu formulani matematik induksiya usuli orqali isbotlaymiz. Avval shuni qayd qilamizki, n = 1 bo'lsa, ushbu formula ko'paytmaning hosilasi uchun ma'lum bo'lgan (4.1.12) formula bilan ustma-ust tushadi.
Endi faraz qilaylik, (4.2.33) formula biror n uchun o'rinli bo'lsin. Yuqori tartibli hosilaning induktiv aniqlanishiga asosan, (n + 1) - tartibli hosila uchun
n
(uv)(n+1) = d (uv)(n) = d Σ
n! u(k)v(n−k) =
dx dx
k=0
Σ
n n
k!(n − k)!
=
k=0
n!
k!(n − k)!
d [u(k)v(n−k)] =
dx
kΣ=0
n! [u(k+1)v(n−k) + u(k)v(n−k+1)]
k!(n − k)!
tenglikni olamiz.
Demak,
n
n
(uv)(n+1) =
kΣ=0
n! u(k+1)v(n−k) +
k!(n − k)!
kΣ=0
n! u(k)v(n−k+1) =
k!(n − k)!
Σ
n+1
=
k=1
n! u(k)v(n−k+1) +
(k − 1)!(n − k + 1)!
kΣ=0
n! u(k)v(n−k+1). k!(n − k)!
Σ
+
k=1
n! (k − 1)!(n − k + 1)!
+ n!
k!(n − k)!
u(k)v(n−k+1).
tenglik hosil bo'ladi.
Kvadratik qavsni quyidagi
n!
(k − 1)!(n − k + 1)!
+ n!
k!(n − k)!
= (n + 1)!
k!(n + 1 − k)!
ko'rinishda yozsak, (4.2.33) formulani (n + 1) - hosila uchun olamiz:
Σ
n
(uv)(n+1) = u(n+1)v + uv(n+1) +
k=1
(n + 1)! u(k)v(n−k+1) =
k!(n + 1 − k)!
Σ
n+1
=
k=0
(n + 1)! u(k)v(n−k+1). k!(n + 1 − k)!
Endi talab qilinayotgan tasdiq matematik induktsiya usulidan kelib chiqadi.
4.3. Funksiyaning lokal ekstremumi
Funksiyaning nuqtada o'sishi va kamayishi.
Ta'rif. Faraz qilaylik, f funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo'lsin.
Agar a nuqtaning shunday δ-atrofi topilsaki, a nuqtadan o'ngda funksiya a nuqtadagidan kattaroq qiymatlar qabul qilsa:
f ( x) > f ( a) , a < x < a + δ, (4.3.1)
a nuqtadan chapda esa, funksiya a nuqtadagidan kichikroq qiymatlar qabul qilsa:
f ( x) < f ( a) , a − δ < x < a, (4.3.2) u holda f funksiya a nuqtada o'suvchi deyiladi.
Xuddi shunga o'xshash, a nuqtada kamayuvchi funksiya aniqlanadi.
Agar funksiya hosilasi biror nuqtada noldan farqli bo'lsa, hosilaning ishorasi bu funksiyani shu nuqta atrofida o'sish yoki kamayishini anglatadi.
4.3.1 - Tasdiq. f funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo'lib, a nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin. Agar f ′( a) > 0 bo'lsa, funksiya a nuqtada o'sadi, agarda f ′( a) < 0 bo'lsa, funksiya a nuqtada kamayadi.
Isbot. Hosilaning (4.1.8) limit ko'rinishidagi ta'rifiga ko'ra, istalgan ε > 0
olganda ham shunday δ > 0 topiladiki, u uchun
−
f ′(a) ε < f(x) − f(a)
x − a
< f ′(a) + ε, 0 < |x − a| < δ,
shart bajariladi.
Avval, faraz qilaylik, f ′(a) > 0 bo'lsin. U holda ε > 0 ni yetarlicha kichik olib,
bahoni hosil qilamiz.
f(x) − f(a) x − a
> 0 , 0 < | x − a| < δ, (4.3.3)
Ravshanki, (4.3.3) munosabat (4.3.1) va (4.3.2) tengsizliklarning bir vaqtda bajarilishiga teng kuchlidir.
Agarda f ′( a) < 0 bo'lsa ham isbot xuddi shunga o'xshash bo'ladi. Q.E.D.
Lokal ekstremum.
Ta'rif. Faraz qilaylik, f funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo'lsin.
Agar a nuqtaning shunday δ-atrofi topilsaki, unda
f ( x) ≤ f ( a) , a − δ < x < a + δ, (4.3.4) bo'lsa, u holda f funksiya a nuqtada lokal maksimumga ega deyiladi.
Bunda a nuqta lokal maksimum nuqtasi deb ataladi.
Xuddi shunga o'xshash lokal minimum aniqlanadi, faqat bunda a nuqtaning δ- atrofida
f ( x) ≥ f ( a) , a − δ < x < a + δ, (4.3.5) tengsizlik bajarilishi zarur.
Bu holda a nuqta lokal minimum nuqtasi deb ataladi.
Agar a nuqta yoki lokal minimum nuqtasi yoki lokal maksimum nuqtasi bo'lsa, u lokal ekstremum nuqtasi deb ataladi.
4.3.1 - Teorema (P.Ferma). Agar f funksiya a lokal ekstremum nuqtasida differentsiallanuvchi bo'lsa, f ′(a) = 0 bo'ladi.
Isbot. Ravshanki, lokal ekstremum nuqtasida funksiya o'suvchi ham, kamayuvchi
ham bo'la olmaydi. Shuning uchun, 4.3.1 - Tasdiqqa ko'ra, f ′( a) hosila musbat ham, manfiy ham bo'la olmaydi. Demak, f ′( a) = 0 ekan.
Q.E.D.
4.4. Chekli orttirma haqidagi teorema
- Teorema (M.Ro'll (M.Rolle)). f funksiya [a, b] kesmada uzluksiz va (a, b) intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsin. Agar f (a) = f (b) bo'lsa, (a, b) intervalda shunday ξ topiladiki, f ′(ξ) = 0 bo'ladi.
Isbot. Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko'ra, f funksiya biror x∗ nuqtada minimal qiymatga va biror x∗ nuqtada maksimal qiymatga erishadi.
Agar f ( x∗) = f ( x∗) bo'lsa, bunday funksiya berilgan kesmada o'zgarmas bo'ladi.
Shuning uchun, uning hosilasi shu kesmada nolga teng bo'ladi. Demak, teoremadagi
ξ sifatida ( a, b) intervalning istalgan nuqtasini olish mumkin.
Agarda f ( x∗) < f ( x∗) bo'lsa, f ( a) = f ( b) shartga ko'ra, x∗ va x∗ nuqtalardan kamida bittasi ( a, b) intervalning ichida joylashgan bo'ladi. Shunday ekan, bu nuqtani ξ orqali belgilasak, 4.3.1 Ferma teoremasiga asosan, f ′( ξ) = 0 tenglikni olamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
