Matematik tahlil

1

.
g(x)g(a)

−
Bu tenglikda x → a deb limitga o'tsak, talab qilingan tenglikni olamiz:

1

g²(a)
F ^′(a) = − g^′(a) .

Q.E.D.

4. 
   - Teorema. Agar f va g funksiyalar a nuqtada differensiallanuvchi bo'lib,
   

f (x)

g(a)
0 bo'lsa, nisbat ham shu nuqtada differensiallanuvchi bo'ladi va quyidagi
g(x)

tenglik bajariladi:
^f ′ = ^f ′ ^{· g − f · g}′ . (4.1.14)

g

_g2
Isbot. Biz bu kasrni quyidagi ko'rinishdagi ko'paytma deb qarashimiz mumkin:

·
^f = f ¹ .

g g

Shunday ekan, ko'paytmani differensiallash haqidagi 4.1.3 - Teoremani va 4.1.1 - Lemmani qo'llab, talab qilingan tenglikni olamiz:
^f ′ = f ^′ · ¹ + f · ¹ ′ = ^f ′ − f ^g′ .

g

Q.E.D.

g g g g²

4. Murakkab funksiyani differensiallash.

∈

⊂

⊂
Avvalgi bobning 3.5 - bandida kiritilgan murakkab funksiyalarni o'rganamiz. Chunonchi, y = f (x) funksiya biror E R intervalda aniqlangan bo'lsin. Bundan tashqari, x = ϕ(t) funksiya M R intervalda aniqlangan bo'lib, uning qiymatlar to'plami E da yotsin. Ushbu bandda biz M to'plamda aniqlangan va har bir t M songa f [ϕ(t)] qiymatni mos qo'yuvchi f (ϕ) funksiyani o'rganamiz.

4. 
   - Teorema. Agar ϕ funksiya a ∈ M nuqtada differensiallanuvchi bo'lib,
   

f funksiya bu nuqtaga mos b = ϕ(a) ∈ E da differensiallanuvchi bo'lsa, u holda
F (t) = f [ϕ(t)]
murakkab funksiya a nuqtada differensiallanuvchi bo'ladi va


F ^′(a) = f ^′(b) · ϕ^′(a) (4.1.15)
tenglik bajariladi.
Isbot. Ma'lumki, f funksiya b nuqtada differensialllanuvchi bo'lsa, (4.1.10) ga ko'ra, b nuqtada cheksiz kichik bo'lgan shunday α(x) funksiya topiladiki, u uchun
f (x) − f (b) = [f ^′(b) + α(x)] · (x − b) (4.1.16)
tenglik bajariladi.
Agar x = ϕ(t) deb, b = ϕ(a) ekanini hisobga olsak, (4.1.16) dan
f[ϕ(t)] − f[ϕ(a)] _{= [f ′(b) + α(x)]} ϕ(t) − ϕ(a)

tenglikni olamiz.

t − a
t − a

→
Bu tenglikda t a deb limitga o'tsak, talab qilingan (4.1.15) tenglik hosil bo'ladi.

Q.E.D.

Eslatma. Agar f va ϕ funksiyalar o'zlari aniqlangan intervallarning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsa, u holda murakkab funksiyani differensiallash formulasi ϕ funksiyaning aniqlanish sohasidagi barcha t larda o'rinli bo'lib, u quyidagi ko'rinishda yoziladi:

df[ϕ(t)] dt
= f ^′[ϕ(t)] · ϕ^′(t). (4.1.17)

Bu (4.1.17) formulani ba'zan zanjirli qoida deb atashadi. Agar t o'zgaruvchi ham o'z navbatida qandaydir s o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsa, ya'ni t = τ (s) bo'lsa, bu terminni ishlatish sababi yanada oydinlashadi. Haqiqatan, bu holda quyidagi

Φ(s) = f {ϕ[τ (s)]}

◦ ◦
murakkab funksiyaning (bu funksiya ba'zan Φ = f ϕ τ ko'rinishda ham belgilanadi) hosilasi

Φ^′(s) = f ^′(x)ϕ^′(t)τ ^′(s)

ga teng bo'ladi, bunda x = ϕ(t) va t = τ (s).

4. Teskari funksiyani differensiallash.

Eslatib o'tamizki, biror E to'plamda aniqlangan f funksiyaga teskari funksiya deb, M = f (E) to'plamda aniqlangan va quyidagi ikki:

1. 
   istalgan x ∈ E uchun
   

2. 
   istalgan y ∈ f (E) uchun
   

f ⁻¹[f (x)] = x;
f [f ⁻¹(y)] = y

shartlarni qanoatlantiruvchi f ⁻¹ funksiyaga aytilar edi.

4. 
   - Teorema. f funksiya a nuqtaning biror atrofida qat'iy monoton va
   

/
uzluksiz bo'lsin. Bundan tashqari, f funksiya a nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, f ^′(a) = 0 bo'lsin. U holda teskari f ⁻¹ funksiya b = f (a) nuqtada differensiallanuvchi bo'lib,

tenglik bajariladi.

(f ⁻¹)^′(b) = ¹
f ^′(a)

(4.1.18)

Isbot. Albatta, teoremaning shartlari bajarilganda teskari funksiya mavjud bo'lib, u b = f (a) nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo'ladi hamda f ⁻¹(b) = a tenglik bajariladi. Ana shu atrofdan olingan istalgan y =/ b son uchun x = f ⁻¹(y) deymiz. Bunda, ravshanki, f (x) = y va x /= a bo'ladi. Shunday ekan,
f ⁻¹(y) − f ⁻¹(b) ₌ x − a ₌ 1

y − b
f (x) − f (a)
_{f(x) − f(a)} . (4.1.19)
x − a

→ →

→
Agar y b bo'lsa, teskari funksiyaning uzluksizligiga ko'ra (3.5.8 - Teoremaga qarang), x a bo'ladi. Demak, (4.1.19) tenglikda y b deb limitga o'tsak, talab qilingan (4.1.18) tenglikni olamiz.

Q.E.D.

4.2. Eng sodda elementar funksiyalarning hosilalari

1. Logarifmik funksiyaning hosilasi. Quyidagi

f (x) = ln x, x > 0, (4.2.1) logarifmik funksiyani qaraymiz, bunda ln x simvoli orqali (3.6.30) tenglik bilan aniqlangan e soni asos qilib olingan logarifm belgilangan, ya'ni ln x = log_e x.
Biz bu funksyani har qanday x > 0 nuqtada differensiallanuvchi ekanini isbotlaymiz.
Ayirmali nisbat tuzib, uni, logarifm xossalaridan foydalanib, qulay ko'rinishga keltiramiz:

ln(x + h) − ln x ₌ 1

h x

^x ln

h

1 + ^h

x

= ¹ ln

x

1 +

_h x/h

.

x

Agar t = h/x desak, ayirmali nisbatni

ln(x + h) − ln(x)

h

= ¹ ln(1 + t)^1/t, t = ^h, (4.2.2)

x x

kabi yozib olish mumkin.

→ →
Ixtiyoriy tayinlangan x > 0 uchun h 0 shartdan t 0 kelib chiqadi. Agar quyidagi:

lim (1 + t)^1/t = e

t→0
ikkinchi ajoyib limitdan foydalansak, logarifmik funksiyaning uzluksizligiga ko'ra,

tenglikka ega bo'lamiz.
lim
t→0
ln[(1 + t)^1/t] = ln e = 1

→
Shuning uchun, (4.2.2) tenglikda h 0 deb limitga o'tsak, logarifmik funksiya hosilasi uchun
(ln x)^′ = ¹ , x > 0, (4.2.3)

x

tenglikni olamiz.
Endi ixtiyoriy a > 0, a /= 1 asosli
f (x) = log_a x, x > 0, (4.2.4) logarifmik funksiyaning hosilasini hisoblaylik. Agar b asosli logarifmdan a asosli logarifmga o'tish formulasi

dan foydalanib, b = e desak,

log_a

_{x =} log_b x
log_b a

log_a
ln x ^{x =} ln a

tenglik hosil bo'ladi. Bu tenglikni (4.2.3) formuladan foydalanib differensiallasak,
navbatdagi tasdiqni olamiz.

1. 
   - Tasdiq. (4.2.4) logarifmik funksiya har qanday x > 0 nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, uning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega:
   

(log_a

x)^′ = ¹
x ln a


, x > 0. (4.2.5)

2. 
   Ko'rsatkichli funksiya hosilasi. Agar a > 0 va a /= 1 bo'lsa,
   

∈
f (x) = a^x, −∞ < x < ∞, (4.2.6) ko'rinishdagi ko'rsatkichli funksiyani o'rganaymiz. Ma'lumki, bu funksiya butun sonlar o'qi R da aniqlangan. Ko'rsatkichli funksiyani har qanday x R nuqtada differensialllanuvchi ekanini ko'rsatamiz.
Buning uchun (4.2.6) ko'rsatkichli funksiya (4.2.4) logarifmik funksiyaga teskari ekanini qayd etamiz. Shunday ekan, biz teskari funksiya hosilasi haqidagi 4.1.6 -
Teoremadan foydalansak bo'ladi. Chunonchi, agar


f (x) = log_a x, x > 0,

bo'lsa,
bo'ladi.


f ⁻¹(y) = a^y, −∞ < x < ∞,

Ravshanki, 4.1.6 - Teoremaning barcha shartlari o'rinli, shuning uchun, (4.2.5) ga ko'ra, agar x va y sonlar x = a^y munosabat bilan bog'langan bo'lsa,

[a^y]^′ = [f ⁻¹(y)]^′ = ¹

f ^′(x)
₌ 1
(log_a x)^′

= x ln a = a^y ln a

tenglikka ega bo'lamiz.
Odatdagi belgilashlarga o'tsak, navbatdagi tasdiqni olamiz.

2. 
   
   ∈
   - Tasdiq. (4.2.6) ko'rsatkichli funksiya har qanday x R nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, uning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega:
   

(a^x)^′ = a^x ln a, −∞ < x < ∞. (4.2.7) Eslatma. Agar a = e bo'lsa, (4.2.7) formula ayniqsa sodda ko'rinishga keladi:

(e^x)^′ = e^x, −∞ < x < ∞. (4.2.8)

3. 
   Darajali funktsiya hosilasi. Ixtiyoriy α ∈ R sonni tayinlab,
   

f (x) = x^α, x > 0, (4.2.9)
darajali funksiyani qaraymiz. Ko'rsatkich ixtiyoriy haqiqiy son bo'lgani uchun, biz bu funktsiyani musbat yarim to'g'ri chiziqda aniqlangan deb hisoblaymiz (haqiqatan, masalan α = −0.5 bo'lsa, x ≤ 0 lar uchun darajali funksiyani aniqlash qiyin).

Logarifmik funksiya xossalaridan foydalanib, (4.2.9) funksiyani ko'rsatkichli va logarifmik funksiyalarning superpozitsiyasi sifatida yozib olamiz:

f (x) = e^{α ln x}.
Shunday ekan, 4.1.5 - Teoremani qo'llasak,

x
f ^′(x) = e^{α ln x} · α · ¹



·
= x^{α α} = αx^α−1 x

tenglik hosil bo'ladi.
Natijada navbatdagi tasdiqqa kelamiz.

3. 
   - Tasdiq. (4.2.9) drajali funksiya har qanday x > 0 nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, uning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega:
   

(x^α)^′ = αx^α−1. (4.2.10)

Eslatma. Agar α ko'rsatkich ixtiyoriy butun son bo'lsa, (4.2.10) formula barcha x /= 0 lar uchun o'rinli bo'ladi va α ixtiyoriy natural son bo'lganda esa, (4.2.10) tenglik barcha x ∈ R lar uchun bajariladi.

4.