Matematik tahlil

(0) =

(−1)^k−1, agar n = 2k − 1 bo'lsa,

(
0, agar n = 2k bo'lsa.

x

bu yerda

x − _3!
sin =

_x3 _{+ x}5
_x7 <sub>+
+ ( 1)k−1 x</sub>2k−1

+ ^˜ ( )

5! ⁻ 7!

−

(2k − 1)!

R_k(x) = sin

ξ +

2

_{(2k + 1)!} , 0 < _x < 1. (4.5.17)
_˜ π(2k + 1) x^2k+1 ξ

5. 
   Kosinus yoyilmasi. Quyidagi
   

funksiyani qaraymiz.
Ma'lumki,

Demak,
Shuning uchun,

f (x) = cos x

2

2
f ⁽ⁿ⁾(x) = cos x + ^π n . f ⁽ⁿ⁾(0) = cos ^πn .

Natijada,

_f (n)

(0) =

(−1)^k, agar n = 2k bo'lsa,

(
0, agar n = 2k + 1 bo'lsa.

_x2 _x4 _x6


_{k x}2k

cos x = 1 − _2! + _4! − _6! + ... + (−1)

bu yerda
(2k)! ⁺
R^˜_k(x), (4.5.18)

R_k(x) = cos

ξ +

2

_{(2k + 2)!} , 0 < _x < 1. (4.5.19)
_˜ π(2k + 2) x^2k+2 ξ

6. 
   Logarifm yoyilmasi. Modomiki ln x funksiya manfiy argumentlarda aniqlanmagan ekan, uni x = 0 nuqta atrofida Makloren formulasi bo'yicha yoyish mumkin emas.
   

Odatda bu funksiya o'rniga
f (x) = ln(1 + x), x > −1,
funksiya olinadi. Yangi funksiya x = 0 nuqta atrofida aniqlangan va cheksiz marta differensiallanuvchidir.
Agar n ≥ 1 bo'lsa, hosila uchun

f x −
_{(n)( ) = ( 1)n−1} (n − 1)!
(1 + x)ⁿ
tenglikni olamiz, demak,
f ⁽ⁿ⁾(0) = (−1)ⁿ⁻¹(n − 1)!
Yana f (0) = 0 tenglikni hisobga olsak, x > −1 bo'lganda

ln(1 + ) =

_x2 _{+ x}3


_x4 ₊


+ ( 1)^{n−1 x}n + ( )

x x − ₂

3 ⁻ 4

... −

_n R_n x

(4.5.20)

yoyilma hosil bo'ladi, bunda
(−1)ⁿ


_xn+1 _ξ

R_n(x) =
_{(1 + ξ)n} · _{n + 1} , 0 < _x < 1. (4.5.21)

7. 
   
   → −
   Asimptotik yoyilma. Agar M_n+1 orqali qaralayotgan funksiyaning (n + 1)- tartibli hosilasining aniq yuqori chegarasini belgilasak, Teylor formulasidagi qoldiq had M_n+1(x−a)ⁿ⁺¹ ifoda orqali yuqoridan baholanadi. Biroq, Teylor formulasining ko'pgina tadbiqlarida qoldiq had qanday M_n+1 koeffitsiyent bilan baholanishi emas, balki x a da uning (x a)ⁿ⁺¹ kabi nolga intilishi muhimdir. Shu munosabat bilan
   

avvalgi bobda kiritilgan quyidagi belgilashni eslatamiz: agar shunday o'zgarmas
C > 0 topilsaki, barcha x ∈ E larda

tengsizlik bajarilsa, biz deymiz.
|f (x)| ≤ C|g(x)|, x ∈ E,
f (x) = O(g(x)), x ∈ E,

2. 
   - Teorema. Berilgan f funksiya biror n natural son uchun a nuqtaning biror atrofida n - tartibli hosilaga ega bo'lib, bu hosila a nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin. U holda a nuqtaning shunday V (a) atrofi topiladiki, unda quyidagi formula o'rinli bo'ladi:
   

n
f (x) =
kΣ=0
(k)_{( )}

^{f a} ₍ k n+1
_k! x − a) + O((x − a) ), x ∈ V (a). (4.5.22)

−
Isbot. Lagranj ko'rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasida n o'rniga n 1
olib, uni f funksiyaga qo'llaymiz:

n−1

(k)

(n)

k!
f (x) = <sup>Σ



f (a)</sup>(x − a)^k + ^{f (ξ)}(x − a)ⁿ. (4.5.23)

n!
Shartga ko'ra f ⁽ⁿ⁾(x) funksiya a nuqtada differensiallanvchi bo'lgani uchun
f ⁽ⁿ⁾(ξ) = f ⁽ⁿ⁾(a) + f ⁽ⁿ⁺¹⁾(a)(ξ − a) + α(ξ)(x − a)

→
tenglik o'rinli bo'lib, bunda α(ξ) - argument ξ a da cheksiz kichik funksiyadir. Albatta, a nuqtada cheksiz kichik bo'lgan har qanday funksiya shu nuqtaning biror V (a) atrofida chegaralangandir. Shu sababli oxirgi tenglikdan quyidagi munosabatni olamiz:


f ⁽ⁿ⁾(ξ) = f ⁽ⁿ⁾(a) + O(x − a), x ∈ V (a). (4.5.24)
Endi, (4.5.24) bahoni (4.5.23) ning oxirgi hadiga qo'llab, o'z-o'zidan ko'rinib turgan

(x − a)ⁿ · O(x − a) = O((x − a)ⁿ⁺¹)

munosabatdan foydalansak, talab qilingan (4.5.22) tenglikni olamiz.

Q.E.D.

Isbotlangan (4.5.22) formula f funksiyaning a nuqta atrofidagi asimptotik yoyilmasi deyiladi. Bu formulada o'ng tarafdagi ko'phad f funksiya bilan, umuman aytganda, ustma-ust tushmasada, u f funksiyadan ko'phad darajasidan yuqoriroq tartibli cheksiz kichik miqdorga farq qiladi. Yoyilmaning nomi yunoncha asimptotos , ya'ni ustma-ust tushmaydi degan so'zdan olingan.
Bu formula ko'pincha a = 0 bo'lganda qo'llaniladi. Bu holda (4.5.22) formula quyidagi ko'rinishga keladi:

f (x) =
kΣ=0
(k)₍₀₎

^f k n+1
_k! x + O(x ), x ∈ V (0). (4.5.25)

n
Ba'zi eng sodda elementar funksiyalarning noldagi asimptotik yoyilmalarini keltiramiz.

1. 
   Eksponentaning yoyilmasi:
   

_{x x}2 _x3


^xn n+1

e = 1 + x + _2! +

_3! + · · · + _n! + O(x

). (4.5.26)

2. 
   Sinusning yoyilmasi:
   

sin =

_x3 _{+ x}5


_x7 <sub>+


+ ( 1)n−1 x</sub>2n−1
_{+ (} 2n+1₎

x x − _3!

5! ⁻ 7!

... −
(2n − 1)!
. (4.5.27)

3. 
   Kosinusning yoyilmasi:
   

cos

_x2 _x4 _x6


_{n x}2n

2n+2

x = 1 − _2! + _4! − _6! + ... + (−1)

(2n)! ^{+ O(x}
). (4.5.28)

Keltirilgan formulalar turli limitlarni hisoblashda asqatadi.
4.5.1 - Misol. Limitni hisoblang:

lim

x→0
1 − cos x cos 2x cos 3x_{. (4.5.29)}

1 − cos x

Kosinusning O(x⁴) aniqlikdagi asimptotik yoyilmasini qo'llasak, (4.5.29) kasrning surati uchun

1 − cos x cos 2x cos 3x =

= 1 −

1 −
_x2 ₊ 2


O(x

⁴) 1 −

4x² ₊

2

O(x

⁴) 1 −

9x² ₌

2

= 1 1
14x² ₊

( ⁴) = 7 ² +

( ⁴)

ifodani olamiz.

— − ₂ O x

x O x

(4.5.30)

Xuddi shu usulda maxrajni quyidagi ko'rinishga keltiramiz:

−

x

−

−

2

O x

2

O x

. (4.5.31)
1 cos = 1 1 ^x2 + ( ⁴) = ^x2 + ( ⁴)

Endi (4.5.30) va (4.5.31) ni (4.5.29) kasrga qo'ysak,

1 − cos x cos 2x cos 3x ₌ 7x² + O(x⁴) ₌ 14 + O(x²)

1 − cos x

_x2 ₊

2

O(x⁴)
1 + O(x²)

tenglik hosil bo'ladi. Bundan yuqoridagi limit 14 ga teng ekanligi kelib chiqadi.

4.6. Differensiallar

1. 
   Birinchi differensial. Faraz qilaylik, f funksiya a nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin. Argumentning h ga teng orttirmasiga mos kelgan f funksiyani orttirmasini quyidagi ko'rinishda belgilaymiz:
   

∆f (a, h) = f (a + h) − f (a) (4.6.1) Bu orttirmani, (4.1.10) formulaga ko'ra,

→ →
∆f (a, h) = f ^′(a)h + α(a, h)h (4.6.2) kabi yozish mumkin. Bu yerda h 0 bo'lsa, α(a, h) 0 bo'ladi.
Funksiya orttirmasining h ga nisbatan chiziqli bo'lgan f ^′(a)h hadi f funksiyaning
a nuqtadagi differentsiali deyiladi va u df (a, h) orqali belgilanadi. Shunday qilib,


df (a, h) = f ^′(a)h. (4.6.3)
Agar f funksiya biror intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsa, uning differensiali ikki x va h o'zgaruvchilar funksiyasi bo'lib, u h bo'yicha chiziqlidir:


df (x, h) = f ^′(x)h,
An'ana bo'yicha h o'zgaruvchini dx deb belgilashadi va bu holda differensial quyidagi ko'rinishga keladi:

yoki yanada qisqa qilib, kabi yoziladi.

Masalan,


df (x, dx) = f ^′(x)dx,


df = f ^′(x)dx (4.6.4)

Yana bir misol:

d(sin x) = cos x dx.

1 1 dx