Matematik tahlil

Trigonometrik funksiyalar hosilalari. 1) Biz

y = sin x, x ∈ R, (4.2.11)
funksiyadan boshlaymiz.
Argument orttirmasini h deb, funksiya orttirmasini hisoblaymiz:

sin(x + h) − sin x = 2 sin ^h cos x + ^h .

2 2

U holda ayirmali nisbatni quyidagicha yozish mumkin:

h

sin(x + h) − sin x

= ^{sin 2} cos

+ _h

h ^{h x} 2

2

. (4.2.12)

Birinchi ajoyib limitga ko'ra, agar h → 0 bo'lsa,

sin ^h

2
_h → 1

2

bo'ladi.

→
Shunday ekan, (4.1.12) tenglikda h 0 deb limitga o'tsak, kosinusning uzluksizligiga asosan, quyidagi tasdiqni olamiz.

∈
(4.2.11) sinus funksiyasi har qanday x R nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, uning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega:

(sin x)^′ = cos x. (4.2.13)

2. 
   Endi
   

funksiyani qaraymiz.


y = cos x, x ∈ R, (4.2.14)

Keltirish formulalariga ko'ra,

x − x . (4.2.15)
cos = sin ^π

2
(4.2.13) tenglikdan va murakkab funksiya hosilasi haqidagi 4.1.5 - Teoremadan foydalanib, (4.2.15) tenglikning chap tarafini differensiallaymiz:

2
(cos x)^′ = cos ^π − x (−1) = − sin x.

Shunday qilib,

2. 
   Ushbu
   

(cos x)^′ = − sin x, x ∈ R. (4.2.16)

π
y = tg x, x /= ₂ + πk, k ∈ Z, (4.2.17)

tangens funksiyasining hosilasini hisoblaymiz.
Buning uchun nisbat hosilasi uchun isbotlangan (4.1.14) formulada f (x) = sin x
va g(x) = cos x deb,

(tg

_{)′ =} (sin x)^′ cos x − sin x(cos x)^′ ₌ cos² x + sin² x ₌ 1

x

tenglikni olamiz.
Demak,
cos² x
cos² x
cos² x

(tg x)^′ = ¹ = 1 + tg² x, x

cos² x
^π + πk, k ∈ Z. (4.2.18)

2. 
   
   2
   Navbatdagi formula ham xuddi (4.2.18) tenglik singari isbotlanadi.
   

— − − / ∈
(ctg x)^′ = ¹ = 1 ctg² x, x = πk, k Z. (4.2.19)

sin² x

5. 
   Teskari trigonometrik funksiyalar hosilalari.
   

1. 
   Quyidagi
   

funksiyani qaraymiz.

π

y = arcsin x, −1 ≤ x ≤ 1, (4.2.20)

π

Bu funksiya − ₂ ≤ y ≤ ₂ kesmada aniqlangan x = sin y funksiyaga teskari
funksiyadir. Shuning uchun, teskari funksiyani differensiallash haqidagi 4.1.6 - Teoremani
va sinus hosilasi uchun (4.2.13) formulani qo'llasak,

tenglikni olamiz.
Endi

(arcsin x)^′ = ¹ (sin y)^′

₌ 1

cos y

(4.2.21)

q _√
cos y = 1 − sin² y = 1 − x²
munosabatni e'tiborga olsak, (4.2.21) tenglikdan navbatdagi tasdiq kelib chiqadi.

4. 
   
   ∈ −
   - Tasdiq. (4.2.20) teskari funksiya har qanday x ( 1, 1) nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, uning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega:
   

2. 
   Quyidagi
   

(arcsin x)^′ =

1
^√1 − x²
, −1 < x < 1. (4.2.22)

tenglikdan

arccos x = ^π

2

— arcsin x

formulani olamiz.

3. 
   Endi
   

(arccos x)^′ = −^√

1
1 − x²
, −1 < x < 1, (4.2.23)

funksiyani qaraymiz.

π

y = arctg x, −∞ < x < ∞, (4.2.24)

π

Bu funksiya − ₂ < y < ₂ kesmada aniqlangan x = tg y funksiyaga teskari
funksiyadir. Shuning uchun, teskari funksiya hosilasi haqidagi 4.1.6 - Teoremani va
tangens hosilasi uchun (4.2.18) formulani qo'llasak,

tenglikni olamiz.

(arctg x)^′ = ¹ (tg y)^′

₌ 1

1 + tg² y

Demak, tg y = x bo'lgani uchun,

1 + ²x
(arctg x)^′ = ¹ , −∞ < x < ∞, (4.2.25)
formulani hosil qilamiz.

6. Eng sodda elementar funksiyalar hosilalari jadvali.

Agar eng sodda elementar funksiyalar hosilasini bilsak, yig'indi, ayirma, ko'paytma
va nisbatlarni differensialllash haqidagi teoremalarni va murakkab funksiyani differensiallash qoidasini qo'llab, istalgan elementar funksiyani differensialllashimiz mumkin. Shunday
ekan, quyidagi eng sodda elementar funksiyalar hosilalari jadvalini bilish yetarli ekan.

1⁰. (x^α)^′ = αx^α−1 (x > 0).

2⁰. (log_a
x)^′ = ¹
x ln a
(0 < a /= 1, x > 0).

3⁰. (a^x)^′ = a^x · ln a (0 < a 1, −∞ < x < ∞).
4⁰. (sin x)^′ = cos x (−∞ < x < ∞).
5⁰. (cos x)^′ = − sin x (−∞ < x < ∞).

cos² x

2
6⁰. (tg x)^′ = ¹ = 1 + tg² x (x /= ^π + kπ, k ∈ Z).

— − − / ∈
7⁰. (ctg x)^′ = ¹ = 1 ctg² x (x = kπ, k Z).

sin² x

8⁰. (arcsin x)^′ =
1
^√1 − x²
(−1 < x < 1).

9⁰. (arccos x)^′ = −^√
1
1 − x²
(−1 < x < 1).

10⁰. (arctg x)^′ = ¹
1 + x²
(−∞ < x < ∞).

Eslatma. Istalgan elementar funksiya hosilasi yana elementar funksiya bo'ladi. Elementar funksiyalarni differensiallash bo'yicha ikki muhim misolni keltiramiz.
Bu misollarda a va b ixtiyoriy haqiqiy sonlardir.

1. 
   - Misol. Quyidagi
   

f (x) = ln (x − a)² + b² (4.2.26)

√
funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Murakkab funksiyani differensiallash qoidasini qo'llab, hosillalar jadvalidan
f ^′(x) = ¹ (ln[(x − a)² + b²])^′ = ^{1 1} 2(x − a)

2

tenglikni olamiz. Shunday qilib,
2 (x − a)² + b²

(x − ^{2 2}a) + b
(ln ^√(x − a)² + b² )^′ = ^{x − a} . (4.2.27)

2. 
   - Misol. Quyidagi
   

f (x) = arctg ^{x − a}

b

funksiyaning hosilasini hisoblang.
Yechish. Hosilalar jadvalidan

1 +
f ^′(x) = arctg ^{x − a} ′ = ^{1 1}

tenglikni olamiz.

Demak,
^b x − a ^{2 b}

arctg ^{x − a} ′ = ^b . (4.2.28)

b

7. Yuqori tartibli hosilalar.

(x − a)² + b²

Agar f funksiya biror intervalda differernsiallanuvchi bo'lsa, bu intervalda f ^′(x) funksiya aniqlangan bo'ladi. Albatta, bu yangi f ^′ funksiya ham shu intevalning biror a nuqtasida differensiallanuvchi bo'lishi mumkin. U holda f ^′ funksiyaning a nuqtadagi hosilasi f funksiyaning shu nuqtadagi ikkinchi tartibli (yoki ikkinchi) hosilasi deb ataladi va f ^′′(a) kabi belgilanadi. Bunda quyidagi

_f ′′

(a) = f

(2)

(a) =

d²f dx²


(a)

belgilashlardan ham foydalaniladi.

Xuddi shu singari, ikkinchi hosila ham qaralayotgan intervalning har bir nuqtasida mavjud bo'lib, u ham differensiallanuvchi funksiya bo'lishi mumkin. U holda f funksiya ikkinchi hosilasining hosilasi f funksiyaning uchinchi tartibli (yoki uchinchi) hosilasi deb ataladi va

kabi belgilanadi.
_f ′′′
_{= f} (3) ₌
d³f dx³

−
Umuman, agar f funksiya biror intervalda n 1 tartibli f ⁽ⁿ⁻¹⁾ hosilaga ega bo'lib, o'z navbatida bu funksiya ham differensiallanuvchi funksiya bo'lsa, uning hosilasi f funksiyaning n - tartibli hosilsi deb ataladi va

kabi belgilanadi.


_f (n) ₌
dⁿf dxⁿ

Bunda f funksiya berilgan intervalda n marta differensialllanuvchi deb ataladi. Shunday qilib, n-hosila induktiv ravishda aniqlanar ekan:
f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ⁽ⁿ⁻¹⁾(x))^′ = ^d f ⁽ⁿ⁻¹⁾(x), n = 2, 3, ...