Mavzu: Algebraik va transsendent tenglamalarni taqribiy yechishda vatarlar va oraliqni teng ikkaga bo`lish samaradorlik bo’yicha taqqoslash. Mundarija

Tenglamalarni yechishning vatarlar usuli.
V atarlar usuli [a, b] kesmaga to’g’ri keluvchi f(x) egri chiziq yoyini
tutashtiruvchi vatar OX o’qini shu kesma ichida kesib o’tishiga asoslangan.
V atarning OX o’qi bilan kesishgan nuqtasi ildizga yaqinroq (3-rasmda x₁ va  ga mos nuqtalar). Agar ildiz yotgan kesma sifatida [a, x₁] yoki [x₁,b] olinsa, avvalgi [a, b] kesmaga nisbatan kichikroq kesma hosil bo’ladi. Yangi kesmada mos f(x) yoyiga yana vatar o’tkazib, ilgarigidan ko’ra torroq oraliqni aniqlash mumkin va hokazo. Bu jarayonni davom ettirib, ildiz yotgan oraliqni istalgancha kichraytirish mumkin bo’ladi.
3-rasm
Tenglamaning  [a, b] ajratilgan ildizini  aniqlikda hisoblash uchun x₀ boshlang’ich yaqinlashish tanlab olinadi. Bu 3-rasmda ko’rsatilgandek f(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarning ishoralariga bog’liq. Agar y'<0 ba y''<0 (1 a-rasm) yoki y'>0 va y''<0 (1 d-rasm) bo’lsa x₀=b, qolgan hollarda x₀=a qilib olish kerak (1-b va 1-c rasmlar).
Birinchi x₀=a bo’lgan holda x=b qo`zg`almas nuqta bo’ladi va ildizga keyingi yaqinlashishlar

(2)

formula bilan hisoblanadi. Bu yerda n=0, 1, 2, ... yaqinlashish

tartibi, x_n – tartibli yaqinlashish.
Ikkinchi, x₀=b bo’lgan holda x=a qo’zg’almas nuqta bo’ladi. Keyingi yaqinlashishlar
(3)

formula bilan hisoblanadi.

Yaqinlashish jarayoni |x_n-x_n-1| ≤  shart bajarilguncha davom etadi.
Vatarlar usuli.

1. 
   Agar [a, b] oraliqda f(a) bo`lsa, u holda
   

bunda x₀=a.

2. 
   Agar [a, b] oraliqda f(a) bo`lsa, u holda
   

bunda x₀=a.

Amaliyotda , ba’zi masalalarda
(2.1)
ko’rinishdagi bir noma’lumli chiziqsiz tenglamalarni yechishga to’g’ri keladi.Bunda oraliqda aniqlangan funksiya bo’lib , bo’lsa, ni (2.1) tenglamaning yechimi-ildiz deyiladi.Tenglamaning aniq yechimini toppish qiyin bo’lgan hollarda uning taqribiy yechimini toppish to’g’ri keladi,bu ikki bosqichga bo’linadi.
1)Yechimini ajratish(yakkalash),ya’ni yagona yechim yotgan intervalni aniqlash;
2)Taqribiy yechimini topilgan intervalda berilgan aniqlikda toppish.
Tenglamaning yagona yechimi yotgan oraliqni aniqlash uchun quyidagi teoremadan foydalaniladi.