Mavzu: Algebraik va transsendent tenglamalarni taqribiy yechishda vatarlar va oraliqni teng ikkaga bo`lish samaradorlik bo’yicha taqqoslash. Mundarija

Masalaning qo’yilishi. f(x) funksiya - [a,b] chekli oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, uning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari shu oraliqda mavjud bo’lsin. Agar f(x) funkiya oraliqning chetki nuqtalarida har хil ishoralarga ega (f(a)*f(b)<0) va unin birinchi tartibli hosilasi butun oraliqda bir xil ishoraga ega bo’lsin. U holda f(x)=0 (5.5.1)
Tenglama yagona yechimga ega bo’ladi.(5.1-rasm)

Agar f(x) funksiya chiziqsiz ko’rinishda bo’lsa, (5.5.1.) tenglama chiziqsiz tenglama deb ataladi.
Agar (5.5.1) tenglamani algebraik almashtirishlar yordamida algebraik tenglama ko’rinishiga keltirish mumkin bo’lmasa, bu tenglama transцendent tenglama deb ataladi. (5.5.1) tenglama echimini berilgan  >0 aniqlikda topish talab qilinsin. Bu echimni aniqlashda taqribiy sonli echish usullari (oraliqni teng ikkiga bo’lish; vatarlar; urunmalar va oddiy iteratsiya usuli) dan foydalanish mumkin.
Algebraik almashtirishlar deganda quyidagi almashtirishlar tushiniladi:
1) berilgan tenglamaning ikkala tomoniga bir хil algebraik ifodalarni qo’shish;
2) berilgan tenglamaning ikkala tomonini bir хil algebraik ifodalarga ko’paytirish;
3) tenglamaning ikkala tomonini bir хil ratsional ko’rsatkichli darajaga oshirish.
Algebraik tenglama - P(x₁ ,x₂ , … , x_n )=0 ko`rinishida yoziladi. Bu yerda P - x<sub>1</sub> ,x<sub>2</sub> ,…,x<sub>n</sub> noma’lum o'zgaruvchilardan iborat ko`phad. Algebraik tenglamaning darajasi P ko`phadning darajasiga teng bo`ladi. x₁ ,x₂ , … , x_n o'zgaruvchilarning algebraik tenglamaga nol qiymat beruvchi qiymatlari ushbu algebraik tenglamaning ildizlari deb ataladi. Transendent tenglama- transendent funktsiyalarni (eksponental, logarifmik, trigonometrik va teskari trigonometrik funktsiyalar) o'z ichiga olgan tenglama. Masalan, sin(x) + lg(x) = x , 2x - lg(x) = arccos(x).
Analitik usul. Agar uzluksiz f (x) funktsiya [a, b] kesma uchlarida qarama-qarshi ishorali qiymatlar qabul qilsa, ya'ni f(a)*f (b)< 0bo`lsa, u holda bu kesmada f (x)=0 (1) tenglamaning kamida bitta ildizi mavjud; Agar [a,b] kesmada uzluksiz va monotonli f(x) funktsiya kesmaning uchlarida har xil ishorali qiymatlar qabul qilsa, u holda bu kesmada faqat bitta ildiz mavjud; Agar f(x) funktsiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lsa va kesmaning uchlarida har xil ishorali qiymatlar qabul qilsa va uning hosilasi kesmada ishorasini o`zgartirmasa, u holda kesma ichida (1) tenglamaning ildizi mavjud va yagona bo`ladi.

Chiziqsiz tenglamalarni sonli-taqribiy usullar bilan yechishni tashkil qilish uchun tenglamaning nechta yechimi mavjud ekanligi yoki umuman yechimi yo’qligi haqida ma’lumotga ega bo’lishimiz kerak. Misolimizda oraliqda x₁ va x2 ni orasida yaqinlashib kelayotgan aniq yechimni olishimiz mumkin. Bu usullarning hammasi yechimga taxminan e bo`yicha eng kichiklashtirib topsak, shunchalik misolimizning aniq javobini topa olishimiz mumkin. Albatta funksiyalarning hosilasi ham kerak bo`ladi. Quyidagi chizmalarimiz orqali iteratsiya usulining qanchalik to`g`ri bo`lishini bilishimiz mumkin.

5-rasm - Oddiy iteratsiya usuli: a - bir tomonlama yaqinlashish jarayoni; b - bir tomonlama uzoqlashish jarayoni; c - ikki tomonlama yaqinlashish jarayoni; g - ikki tomonlama uzoqlashish jarayoni. Eng yuqori yaqinlashish tezligi ϕ'(x) = 0 bo`lganda ro`y beradi.
Agar berilgan tenglama ildizlari bir-biriga yaqin joylashgan bo`lsa, yoki funktsiya murakkab tuzilishga ega bo'lsa, u holda izolyatsiya oraliqlarini aniqlash uchun berilgan oraliqni mayda qismlarga bo'lish usulidan foydalaniladi. Dastlab, funktsiyaning chegaraviy nuqtalardagi ishoralari aniqlanadi. Keyin oraliq x = x<sub>1</sub> , x<sub>2</sub> , … , x<sub>n</sub> oraliq nuqtalari yordamida bo'laklarga ajratiladi. Agar ikkita qo'shni x<sub>k</sub> va x<sub>k+1</sub> nuqtalarda f(x) funktsiya har xil ishoralarga ega ekanligi aniqlansa, ushbu oraliqda kamida bitta ildiz mavjud bo`ladi. Tanlangan oraliqda bitta ildiz borligiga ishonch hosil qilish uchun f(x) funktsiyasining hosilasi ushbu oraliqda ishorasini o'zgartirishi yoki o`zgartirmasligini tekshirish kerak.
Misol. [0,4] kesmada 𝑥² -2=0 tenglamaning ildizlarini ajratish oraliqlarini toping.