Mavzu: Algebraik va transsendent tenglamalarni taqribiy yechishda vatarlar va oraliqni teng ikkaga bo`lish samaradorlik bo’yicha taqqoslash. Mundarija

Oraliqni teng ikkiga bo’lish usulining ishchi algoritmi va dasturi
Tenglamaning e aniqlikdagi (e-o’ta kichik son, yechimni topish aniqligi) taqribiy-sonli yechimini (a;b) oraliqda topishni quyidagi algoritm bo’yicha tashkil qilamiz:

1. 
   Berilgan (a;b) oraliqni o’rtasini aniqlaymiz.
   

2. Yechimni [a;c] yoki [c;b] oraliqdaligini f(a)*f(c)<0 shartidan foydalanib aniqlaymiz.
3. Shartni qanoatlantiradigan oraliqni yangi oraliq sifatida olamiz va uni yana teng ikkiga bo’lib, yuqoridagi ishlarni yana takrorlaymiz.
Xulosa qilib aytganda, biz tanlab olayotgan kesmalarda tenglamaning taqribiy ildizi yotadi. Demak, kesmalarni toraytirib borar ekanmiz.
Natijada, qandaydir qadamdan so’ng tenglamaning aniq yoki talab qilingan aniqlikdagi taqribiy ildizini hosil qilamiz.

Algoritmik blok sxemasi:

2. 
   Tenglamalarni yechishning iteratsiya usuli
   

B
erilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan funksiya ko‘rinishdagi tenglamaga keltiramiz:

2-teorema.

Aytaylik,

1. funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va differensiallanuvchi bo‘lsin;

2. funksiyaning hamma qiymatlari [a,b] oraliqqa tushsin;

3)[a,b] oraliqda tengsizlik bajarilsin.

Bu holda [a,b] oraliqda

tenglamaning yagona x=t yechimi mavjud va bu yechim:

tn= (tn-1) yoki boshqacha


t0 a;b yoki
formulalar bilan aniqlanadi.
Berilgan f(x)=0 tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan
tenglama uchun yaqinlashish sharti bajarilganda yaqinlashish jarayonini quyidagi shakllar misolida ko‘rish mumkin.

Bu yerda a va b rasmlar yaqinlashuvchi, c - rasm uzoqlashuvchi va t₀ qiymat [a,b] oraliqda yotuvchi ixtiyoriy son bo‘lib, yechimning 0-yaqinlashishi, t_i – n_i yechimning i – yaqinlashishi deb yuritiladi.

Bu teorema asosida tenglama ildizini quyidagicha aniqlaymiz: