Mavzu: Algebraik va transsendent tenglamalarni taqribiy yechishda vatarlar va oraliqni teng ikkaga bo`lish samaradorlik bo’yicha taqqoslash. Mundarija

2.1-teorema.Aytayllik,
1) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va (a,b) intervalda hosilaga ega bo’lsin;
2) , ya’ni funksiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega bo’lsin;
3) hosila (a,b) intervalda o’z ishorasini saqlasin .
U holda,(2.1) tenglama [a,b] oraliqda yagona yechimga ega bo’ladi.
Aytaylik, berilgan tenglamadagi funksiya [a,b] oraliqda 2.1-tenglamaning hamma shartlarini qanoatlantirsin.Bundan tashqari funksiya [a,b] oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lib,bu hosila shu oraliqda o’z ishorasini saqlasin,ya`’ni quyidagi teorema o’rinli bo’lsin.
2.4-teorema.Agar [a,b] kesmada
1) funksiyalar uzluksiz , mavjud bo’lsa;
2) ya’ni funksiya kesmaning chetlarida har xil ishoraga ega bo’lsa;
3) hosilalar [a,b] kesmada o’z ishorasini saqlasa, tenglama ildizini aniqlash uchun vatarlar usuli yordamida qurilgan ketma-ketlik ildizga yaqinlashuvchi bo’ladi.



1-rasm . Vatarlar usulining geometrik interpretatsiyasi:
Vatarlar usuli bilan aniqlanadigan taqribiy ildizlar ketma-ketligini qurishda qaralayotgan oraliqning chetki nuqtalarida
(2.5)
Shart bajarilishiga qarab ,quyidagi ikki holni alohida keltiramiz:
1)Agar [a,b] oraliqning chap uchida

Shart bajarilsa, vatarlar usulini chap tomondan qo’llaymiz(2-rasm)

2. 
   R
   asm
   

………………………………………. (2.6)

Bu ketma-ketlik hadlarini hisoblash jarayonini shart bajarilguncha davom ettiramiz va ildiz taqribiy qiymati uchun ni qabul qilamiz, bu yerda taqribiy ildiz aniqligi.
2) Agar [a,b] oraliqning o`ng tomonida

Shart bajarilsa, vatarlar usulini o`ng tomondan qo’llaymiz:


………………………………………. (2.7)

Bu ketma-ketlik hadlarini hisoblash jarayonini shart bajarilguncha davom ettiramiz va ildiz taqribiy qiymati uchun ni qabul qilamiz.