Mavzu: aniq integrallar

FUNKSIYANING INTEGRALLANUVCHANLIK MEZONI (KRITERIYSI)
1°. Darbu yigindilarining xossalari./(x) funksiya segmentda berilgan va chegaralangan bo‘lib, ning biror bo'laklashi bo'lsin. Ravshanki, bu holda f(x) funksiyaning Darbu yig‘indilari

mavjud bo'ladi, bunda

1) segmentning ixtiyoriy P bo‘laklashiga nisbatan tuzilgan f{x) funksiyaning Darbu yig'indilari uchun

bo'ladi.
Bu munosabat 32- ma’ruzadagi (3) tengsizliklardan kelib chiqadi.
Aytaylik, [a, b] segmentning biror bo‘laklashi b^'lsin. Bu bo'laklashning bo‘- luvchi nuqtalari qatoriga yangi bo‘luvchi
nuqtalarni qo‘shib, segmentning boshqa P' bo'laklashini hosil qilamiz. Uni kabi belgilaymiz.
2) segmentining ixtiyoriy P va P' bo‘laklashlari uchun

munosabatlar o‘rinli bo‘ladi.
segmentning ixtiyoriy bo'laklashini olaylik. Soddalik uchun P' bo‘laklash P ning barcha bo‘luvchi nuqtalari hamda qo‘shimcha bitta x nuqtadan yuzaga kelgan bo'lsin. Bu x nuqta x_k hamda х_л+1 nuqtalar orasida joylashsin:

Demak,

Bu bo‘laklashlarga nisbatan Darbuning quyi yig‘indilarini yozamiz:

bunda


Keyingi munosabatdan bo‘lishi kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshash,
bo‘lishi isbotlanadi.
3) ning ixtiyoriy P_x va bo'laklashlarga nisbatan Darbu yig'indilari uchun

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
2°. Integrallanuvchanlik mezoni (kriteriysi).
Endi segmentda berilgan va chegaralangan/(x) funksiya aniq integralining mavjudligi masalasini qaraymiz.
1 - teorema. f(x) funksiya da Integrallanuvchi bo ‘ lishi uchun son olinganda ham [a, b\ segmentning shunday Pbo'laklashi topilib, unga nisbatan

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Bu teorema quyidagicha ham ifodalanishi mumkin:

M Zarurligl Aytaylik, bo‘lsin. Ta’rifga binoan

bo‘ladi.
Ixtiyoriy musbat sonni olaylik. Unda quyi va yuqori integral - larning ta’riflariga ko‘ra

bo‘ladi.
Endi segmentning P_x va P₂ bo'laklashlarning barcha
bo‘luvchi nuqtalaridan ning P bo‘laklashini hosil qilamiz.
Ravshanki, bo‘ladi. Darbu yig‘indilarining 1- va
2- xossalaridan foydalanib P bo‘laklash uchun

bo'lishini topamiz.
Keyingi munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik,

bo'lsin. Unda yuqorida keltirilgan natijaga ko'ra bo‘lib,
bo‘ladi. Bu tengsizliklardan bo'lishi kelib chiqadi. Demak,

Keyingi tengsizlikdan topamiz:

Demak,
(Aniq integralning mavjudligi haqidagi teoremani quyidagicha ifodalasa ham bo‘ladi:
/(x) funksiya da integrallanuvchi bo'lishi uchun
olinganda ham shunday son topilib, segmentni diametri bo‘lgan har qanday P bo'laklashga nisbatan

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.)
Awalgidek, /(x) funksiyaning oraliqdagi tebranishini щ orqali belgilaymiz. U holda

bo'lib, 1-teorema quyidagicha ifodalanadi:
/(x) funksiya da integrallanuvchi bo‘lishi uchun son olinganda ham segmentning shunday P bo'laklashi topilib,
unga nisbatan

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Demak,