Mavzu: aniq integrallar

ANIQ INTEGRALNING XOSSALARI
1°. Integralning chiziqlilik hamda additivlik xossalari.
1-xossa. Agar va bo‘lsa, u holda bo‘lib, bo'ladi.
bo‘lsin. Aniq integral ta’rifiga ko‘ra bo’ladi.
Ravshanki,




Demak,
va
2- xossa. Agar bo‘lsa, u holda bo'lib,

bo‘ladi (additivlik xossasi).
A Aniq integral ta’rifiga ko‘ra bo'ladi. Ravshanki,
Limitga ega bo‘lgan funksiyalar haqidagi teoremadan foydalanib, va
bo‘lishini topamiz.
3- xossa.Agar bo'lsa, u holda bo‘lib,

ifodaga ega bo'lamiz.
< Aytaylik, b bo‘lib,
bo'lsin. U holda son olinganda ham oraliqning bo‘lgan P_{ bo‘laklashi topiladiki,
(1)
bo‘ladi. Shuningdek, oraliqning bo‘lgan boiaklashi topiladiki,

bo‘ladi.
Endi .oraliqning diametri bo'lgan ixtiyoriy P₃ bo‘laklashini olamiz. Bu Р_г bo‘laklashning bo'luvchi nuq- talari qatoriga с nuqtani qo'shib, ning yangi P bo‘laklashini hosil qilamiz. Unga nisbatan /(x) funksiyaning Darbu yig'indilari

bo‘lsin.
P bo‘laklashning dagi bo‘luvchi nuqtalari mos ravishda ularning P_] hamda P₂ bo‘laklashlarini yuzaga keltiradi.
Ravshanki, bu P_x hamda P₂ bo‘laklashlarga nisbatan quyidagi teng- sizliklar o'rinli bo'ladi:

Avni paytda,

bo'ladi. Bu munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, .
/(x) funksiyaning oraliqlar bo'yicha P bo‘-
laklashga nisbatan integral yig‘indilari

bo‘lib,

bo‘ladi. Integral ta’rifidan foydalanib topamiz:

Shunga o‘xshash bo‘lgan hollarda ham xossaning
o'rinli bo‘lishi isbotlanadi.
4-xossa. Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Modomiki, /(x) va g(x) fimksiyalar da integrallanuvchi ekan, unda

bo'ladi.
Aytaylik, bo'lsin. U holda uchun

bo‘lib, ulardan

bo‘lishi kelib chiqadi. Ayni paytda,


bo'ladi.
Endi ekanini etiborga olib, topamiz;

Demak, bu holda
Aytaylik, fix) va g(x) funksiyalar da ixtiyoriy integrallanuvchi funksiyalar bo‘lsin.
Ravshanki, da

bo'ladi.
Endi f(x) ■ g(x) funksiyani quyidagicha yozib olamiz:

Bu tenglikning o‘ng tomonidagi har bir qo‘shiluvchi da integrallanuvchi bo'lganligi sababli da integrallanuvchi bo‘ladi.