Mavzu: aniq integrallar

1- teorema. Agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun bo'ladi.
bo‘lib, bo‘lsin. Integrallanuvchanlik mezoniga ko‘ra, son olinganda ham oraliqning shunday P bo‘laklashi topiladiki, unga nisbatan

bo‘ladi.
Pbolaklashning bo‘luvchi nuqtalari x₀, x_x, x₂,, x„ qatori- ga a va p nuqtalami qo'shib, oraliqning yangi P' bo‘laklashini hosil qilamiz. Ravshanki, bo'ladi.
Darbu yig‘indilarining xossasiga ko‘ra
bo‘lib,
bo'ladi.
P' bo‘laklashning dagi bo'luvchi nuqtalarini shu oraliqning bo‘luvchi nuqtalari sifatida qarab, oraliqning P_y bo‘laklashini
hosil qilamiz. Bu bo'laklashga nisbatan /(x) funksiyaning Darbu yig'indilarini tuzamiz:

Natijada bo‘lib, ulardan

bo'lishi kelib chiqadi. Demak,

bo'ladi. Bu esa ekanini bildiradi.
2°. Chegaralari o‘zgaruvchi aniq integrallar. Aytaylik,
bo'lsin. U holda yuqorida keltirilgan teoremaga ko‘ra
bo‘lib, funksiyaning [a, x] oraliq bo'yicha aniq integral! x ga bog'liq bo‘ladi:


ANIQ INTEGRALNI HISOBLASH
1°. Aniq integralni ta’rifiga ko‘ra hisoblash. Aytaylik, e bo‘lsin. Unda integral ta’rifiga ko‘ra

bo'ladi.
1- misol. Ushbu integral hisoblansin.
Ravshanki, . oraliqni ushbu
nuqtalar yordamida n ta teng bo'lakka bo‘lib, har bir
bo‘lakda nuqtani quyidagicha tanlaymiz:

U holda funksiyaning integral yig'indisi quyidagicha

ko‘rinishga ega bo'ladi.
Ma’lumki,



bo‘ladi. Natijada integral yig‘indi uchun ushbu
tenglikka kelamiz.
Keyingi tenglikda da limitga o'tib topamiz: