Mavzu. Bir o’zgaruvchili chiziqlimas tenglamalar. Ildizlarni aniqlashtirish usullari. Iteratsiyalar usuli Reja

 0,7

ekan.

Agar

 ( x)

yoki

 ( x)

2- shizma

chiziqli funksiya, masalan

 (x)  ax  b

bo’lsa, u vaqtda (1.2)

tenglamachining ildizlarini ajratish soddalashadi. Faqat ^a va ^b koeffisentlari bilan farq qiladigan bir xil tipdagi bir nechta tenglamalarning ildizlarini ajratish uchun grafik usuli qulaydir.

Chunki bu yerda ildizlarni ajratish (ildizlarni taqribiy topish) bitta tayin
y   (x)
funksiya grafigi

bilan har xil
y  aх  b
to’g’ri chiziqlar kesishish nuktalarining abssissalarini topishdan iboratdir.

Bu tipga
xⁿ  ax  b  0
ko’rinishdagi tenglamalar misol bo’la oladi.

Masalan,
x ³  2x 1,2  0 _va
x ³ 1,2x  0,1  0
tenglamalar ildizlari-ning takribiy

kiymatlari topilsin. Buni yechish uchun
^{y  x}3 kubik parabolani chizamiz. So’ngra
y  2x 1,2

_va y  1,2x  0,1
to’g’ri chiziqlarning parabola bilan kesishish nuqtalarining abssissalarini topa-

miz.

2. 
   chizmada ko’rinib turibdiki, birinchi tenglama fakat bitta ^
   

 0,6

xakikiy ildizga ega

bulib, ikkinchi tenglama esa uchta
  1,1_,   0,1_,   1
xakikiy ildizlarga egadir. Agar

f z  0
tenglamani

tenglamaning kompleks ildizlarini topish kerak bulsa,

f₁ x, y  i f₂ x, y  0
z  x  i y

deb olib, bu

kurinishda yozib olamiz, bu yerda

f₁ x, y _va
f₂ x, y

xakikiy x va u uzgaruvchilarning

xakikiy funksiyalari. Bu tenglama esa kuyidagi ikkita tenglamalar

sistemasiga teng kuchlidir. Endi
f₁ x, y  0 ,
f₁ x, y  0 ,
f₂ x, y  0
f₂ x, y  0
egri chiziklarni chizib, ularning

kesishgan nuktalarini topamiz. Kesishish nuktalarining abssissasi va ordinatalari tenglama yechimlarining mos ravishda haqiqiy va mavhum qismlarini beradi.

f z  0

3- shizma

Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish.

Algebraik
f x  a xⁿ  a x^n1 ...... a x  a  0

0 1 n1 n
(3)

tenglamaning ildizlarini ajratish masalasi yaxshi o’rganilgan va ancha osondir. Quyidagi teoremalarning birinchisi boshqalariga nisbattan umumiyroqdir, chunki u kompleks ildizlarining

ham chegaralarini beradi. Biz har doim (3) tenglamada koeffisentlar haqiqiy va deb olamiz.
a₀  0,
a_n  0

A  max
, A  max ^ak

1. 
   teorema. Agar
   

1k n
¹ 1kn1
n
bo’lsa, u holda (3) tenglamaning

barcha ildizlari

r  ¹ 
1  A₁
x  1  A  R



a
halqa ichida yotadi. (4- chizma).

Isbot. Faraz qilaylik, ^{| x |  1} bo’lsin. Modulning xossalariga ko’ra

_n ^ a₁
a_n ^

_n ^  1

| f ( x) | 
a₀ x
^1
a
 ... 
x a
_xn ^  a₀ x
_1  A _{| x |2} ... 

^{ 0 0 }  ^

_ 1 ^
_n  A 
_n | x | 1  A

_{| x |n} _  | a₀ x | 1  _{| x | 1}  | a₀ x |
| x | 1 ^.

^ ^{ }

Agar biz bu yerda
| x |  1  A
deb olsak, u holda
| f (x) |  0
tengsizlik kelib chiqadi.

Boshqacha qilib aytganda, x ning bu qiymatlarida
f (x)
ko’phad nolga aylanmaydi, ya’ni (3)

tenglama ildizga ega bo’lmaydi. Shu bilan teoremaning yarmi isbot bo’ldi.

4- shizma


x  ¹
Teoremaning ikkinchi yarmini isbotlash uchun ^y

deb olib,

f (x)  ¹
_yn

ga ega bo’lamiz, bu

yerda
^{g ( y)  an y}n ^{ an1 y}n1 ^{ ...  a0} . Teoremaning isbot qilingan qismiga ko’ra
g ( y)
ko’phadning

y  ¹

x
n
^k ildizlari (nollari).

| y_k

|  ¹

| x<sub>k


|</sub>  1 A₁

Tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan esa
kelib chikadi.

| x_k

|  ¹ 1 A₁

E s l a t m a: Bu teoremadagi ^r va ^R sonlar (3) tenglama musbat ildizlarning quyi va yuqori

chegaralari bo’ladi. Shunga o’xshash ^{ R}
va ^{ r}
sonlar manfiy ildizlarning mos ravishda quyi va

yuqori chegarasi bo’ladi. Ildizlarning chegaralari uchun bu teoremadagi baho ancha qo’poldir. Quyidagi teoremalar bunga nisbattan ancha yaxshiroq baholarni beradi.

2. 
   teorema. (Lagranj teoremasi). Agar (3) tenglamaning manfiy koeffisentlaridan eng
   

birinchisi (chapdan o’ng tomon hisoblaganda) ^R
bo’lib, ^ manfiy koeffisentlarning absolyut

qiymatlari bo’yicha eng kattasi bo’lsa, u holda musbat ildizlarning yuqori chegarasi
R  1 
(4)

son bilan ifodalanadi.
Isbot. Bu yerda ham


х  1

deb olamiz. Agar

f (x)

ko’phadda manfiy bo’lmagan barcha

₁ , ₂ ,..., _{k 1}
koefisentlarini esa - ^B manfiy son bilan almashtirsak, ko’phadning qiymati faqat

kamayishi mumkin, shuning uchun ham

n
f (x)  a₀ x

• 
  Bx
  

0
nk

• 
  _xnk 1
  

 ... 1 a xⁿ
_xnk 1


B _{x 1} 1

tengsizlika ega bo’lamiz. Bundan esa
^{x } 1 bo’lganda

 ⁿ 
_xnk 1 

 _xnk 1 _

k 1
  _ _xnk 1 _

 ^k  

f (x)
a₀ x
^B x 1 ¹
x 1
a₀ x
( x 1) B
x 1
a₀ (x 1) B

kelib chiqadi. Demak,


x  1   R

bo’lganda
f (x)  0
ga ega bo’lamiz, ya’ni (3) tenglamaning barcha ^{x }
musbat ildizlari
x^  R

tengsizlikni qanoatlantirar ekan.

3. 
   teorema. (Nyuton teoremasi). Agar
   

х  c  0

uchun

f (x)

ko’phad va uning barcha

f ^(x),
f ^ (x), . . . ,
f ⁽ⁿ⁾ (x)
xosilalari nomanfiy bo’lsa:
f ^(k) (c)  0
(k  0, 1, . . . , n) _{, u holda}
R  c

ni (2.3) tenglamaning musbat ildizlari uchun yuqori chegara deb hisoblash mumkin.
Isbot. Teylor formulasiga ko’ra

f (x)  f (c)  f
^(c)(x  c)  . . . 
f ⁽ⁿ⁾ (c)


n!
( x  c) ⁿ
.

Teorema shartiga ko’ra
x  c
bo’lganda bu tenglikning o’ng tomoni musbatdir. Demak, (3)

tenglamalarning barcha ^{x }
musbat ildizlari
x^  R
tengsizlikni qanoatlantiradi.

n

2
Bu teoremalar faqat musbat ildizlarning yuqori chegarasini aniqlaydi. Quyidagi:

1

0
f (x)  (1) ⁿ f (x)  a
xⁿ  a x^n1  a
x^n2  . . .  (1)ⁿ a ,

1

 
f (x)  xⁿ f ^{ 1 }  a
2 _x n
xⁿ  a
n1
x^n1  . . .  a x  a ,

 

1

0
f (x)  (x)ⁿ f ^ ^{1 }  a

xⁿ  a
x^n1  . . .  (1)ⁿ a

x
₃   _n
 
n1 0

ko’phadlarga yuqoridagi teoremalarni qo’llab,
f (x),
f (x₁ ),
f₂ (x),
f₃ ( x)
musbat ildizlarning yuqori

chegaralari
R₀ , R₁ , R_{2 va} R₃
larni mos ravishda topgan bo’lsak, u vaqtda (3) tenglamaning hamma

1
_x ^ _R 2
 x ^  R
_x 

• 
  R₁
  

 x ^   ¹
R

musbat ildizlari tengsizliklarni kanoatlantirar ekan.
va xamma
manfiy ildizlari esa ³

Quyidagi misolda biz yuqorida keltirilgan metodlarni qo’llab ularning natijalarini solishtiramiz.
M i s o l. Quyidagi tenglama haqiqiy ildizlarning chegarasi topilsin:

f (x)  x ⁴  5x ²  8x  8  0
(5)

2. 
   teoremani qo’llaymiz, bu yerda ildizlari (-9; 9) oralikda yotar ekan.
   

a₀  1,
^{A  8} . Demak
^{R  1 8  9} , ya’ni (5) tenglamaning

Endi Lagranj teoremasini qo’llaymiz:
a₀  1,
k  2,
^{B  8} . Bu qiymatlarni (4) formulaga

qo’yib, musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun

R  1 
⁸  1 2
1
 3,84

ni hosil qilamiz. Keyin (5) tenglamada ^x ni ^{ x}
ga almashtirsak,

1
f (x)  x⁴  5x ²  8x  8  0

(6)

tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun ham
R  3,84

tengsizlik kelib chiqadi. Ya’ni Lagranj teoremasiga ko’ra (5) tenglamaning ildizlari (-3, 84; 3,84) oraliqda joylashgan ekan.

Nyuton metodini qullaylik. Bu yerda
f (x)  x ⁴  5x²  8x  8 _,
f ^( x)  4x³ 10x  8 _,

f ^ (x)  12x² 10 _,
f ^( x)  24x _,
f ^IV ( x)  0
ko’rinib turibdiki
x  2
uchun

f ^IV (x)  0,
f ^(x)  0,
f ^ (x)  0 _va
^{f (x)  0} . Osongina payqash mumkinki,
^{x  2} , bo’lsa

f (x)
ham faqat musbat qiymat qabul qiladi, ya’ni
c  2
musbat ildizlarining yuqori chegarasi

ekan. Xudi shuningdek,
f₁ (x)  0
tenglama musbat ildizlarning yuqoroi chegarasi ^{c  3}
ekanligiga

ishonch hosil qilamiz. Demak, (5) tenglamaning ildizlari (-3; 2) oraliqda yotar ekan.
Har uchula metod natijalarini solishtirsak, Nyuton metodi garchi ko’proq mehnat talab qilsada, ildizlar chegaralari uchun yaxshiroq natija berishi ko’rinadi.
Endi oliy algebradan ma’lum bulgan ikita teoremani isbotsiz keltiramiz.