Mavzu. Bir o’zgaruvchili chiziqlimas tenglamalar. Ildizlarni aniqlashtirish usullari. Iteratsiyalar usuli Reja

Dikart teoremasi. (3) tenglama koefisentlaridan tuzilgan sistemada ishora almashtirishlar soni qancha bo’lsa (sanashda nolga teng koeffisentlarga e’tibor qilmaymiz), tenglamaning shuncha musbat ildizi mavjud yoki musbat ildizlar soni ishora almashtirishlar sonidan juft songa kamdir.

Faraz qilaylik, (3) tenglama karrali ildizga ega bo’lmasin. Biz
f₁ (x)
orqali
f ^(x)
hosilani,

f ₂ (x)
f₃ ( x)
orqali orqali
f (x) _ni
f₁ (x) _ni
f₁ (x)
f ₂ (x)
ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini,

va h.k. belgilaymiz va bu jarayonni qoldiqda o’zgarmas son hosil bo’lguncha davom ettiramiz.
Natijada Shturm qatori deb ataluvchi

f (x), funksiyalar ketma-ketligiga ega bulamiz.
f₁ (x),
f₂ (x), . . . ,
f _k (x)

Shturm teoremasi.

f (x)
ko’phadning ildizlaridan farqli ^a va
b(a  b)
sonlarni olib, ^x ni

^a dan ^b gacha o’zgartirganda
f (x)
uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar

yo’qolsa,
f (x)
ning ^{(a, b)} oraliqda xuddi shunday xaqiqiy ildizlari mavjud bo’ladi.

Shturm teoremasi ildizlarni ajratish masalasini to’la hal qiladi, lekin Shturm qatorini tuzish balan bog’liq bo’lgan hisoblashlar ko’p vaqt talab qiladi.
Shturm teoremasining qo’llanishi quyidagichadir. Avval (2.3) tenglamaning barcha ildizlari

yotgan oraliqning chegaralari aniqlanadi. Topilgan
[a,b]
oraliq _j nuqtalar bilan kichik

oraliqchalarga bo’linadi. Shturm teoremasi yordamida tenglamaning
[_i , _i1 ]
oraliqdagi

ildizlarining soni aniqlanadi. Agar bu oraliqlar ildizlarning soni bittadan ko’p bo’lsa, oraliq ikkiga bulinadi va xar bir oraliq uchun Shturm teoremasi qo’llaniladi. Bu jarayonni shu paytgacha davom ettiramizki, toki xar bir oraliqchalardagi ildizlar soni bittadan ortmasin. Shuni ham eslatib o’tish

kerakki, Shturm qatoridagi
f_i ( x)
funksiyalarni musbat sonlarga kupaytirish yoki bo’lish mumkin,

bundan ishora almashtirishlar soni o’zgarmaydi.