Mavzu. Bir o’zgaruvchili chiziqlimas tenglamalar. Ildizlarni aniqlashtirish usullari. Iteratsiyalar usuli Reja

Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli haqida. Iterasiya metodining

yaqinlashishi yoki uzoqlashishi ^ ildizning kichik atrofida
^(x)
hosilaning qiymatiga bog’liq

ekanligini yuqorida ko’rgan edik. Lekin J. X. Vegsteyn 1958 yilda iterasiya metodini shunday

o’zgartirishni taklif qilgan ediki, buni qo’llaganda
^(x)
ning qiymati har qanday bo’lganda ham

iterasiya jarayoni yaqinlashadi. Mabodo
|  ^(x) |  1
tengsizlik bajarilsa, u iterasiya jarayoniga

nisbatan Vegsteyn jarayoni tezroq yaqinlashadi.
Vegsteyn usuli


х   (x)
(17)

formuladan topilgan
^хn1 _ni


z_n1  qz_n  (1 q)x_n1
(18)

formula yordamida
^zn1
bilan almashtirishdan iborat bo’lib, bunda ^q - kerakli ravishda tanlab

olingan miqdordir. ^q ning qiymatini aniqlash uchun 10-chizmadan foydalanamiz.

Faraz qilaylik,
^хn1 (10) formula yordamida
^zn orqali topilgan bo’lsin, ya’ni
^{xn1  (zn )} . U vaqtda

^А va ^B nuqtalarning koordinatalari mos ravishda
(z_n , (z_n ))
_va ^(xn1 ^{, x}n1 ⁾
bo’ladi. Bunday holda

^zn1
uchun eng qulay qiymat M nuqtaning abssissasidir. Uni topish uchun ^AB kesma ustida

^{C (zn1, xn1 )} nuqtani olamiz. Endi (18) ning har ikkala tomoniga ^{ qzn  (1 q)zn1}
q(z_n  z_n1 )  (1 q)(z_n1  x_n1 ) ni hosil qilamiz. Chizmadan foydalanib, (3.17) ni
qАА  (1 q)BC
ni qo’shib,
(19)

(20)

ko’rinishda yozishimiz va
BC  MC   AC  ^(^~x ),
(^(x_n

)  0)

n
(21)

tengliklarning o’rinli ekanligini ko’rishimiz mumkin, bu yerda
х_n1  ^~x_n  z_{n .}

8. 
   chizma
   

^q ning taqribiy qiymatini topish uchun almashtiramiz:


^(^~x )

n
ni taqribiy ravishda quyidagicha

n
^(^~x
_{) } ( z_n )  ( z_n1 ) _ x_n1  x_n

(20)- (22) lardan

z_n  z
n1
z_n  z
^n1 . (22)

^q  ^BC   ^(^~x
_{)  } ^xn1 ^{ x}n

1 q AC
z_n  z
n1

n
ni hosil qilamiz va ^q ning taqribiy qiymatini topamiz:

18. 
    va (23) formulalardan ko’ramizki,
    

_{q } ^xn1 ^{ x}n
^xn1 ^{ x}n ^{ z}n1 ^{ z}n

. (23)

z  x
_ (x_n1  x_n )(x_n1  z_n )

n1
n1
^xn1

• 
  z_n
  

• 
  ^zn1
  

• 
  x_n
  

. (24)

Bu formula x_p+1 o’rnida ishlatiladigan
^zn1 ning qiymatini beradi. Vegsteyn usulini amalda qo’llash

uchun ildizning nolinchi yaqinlashishi
^x0 ga bir marta oddiy iterasiyani qo’llash kerak. Bu birinchi

qadamdan so’ng
^хn1 ni topish uchun esa (10) formulani
x_n1  (z_n )
qurilishda qullaymiz. Biz bu

yerda bu jarayonning oddiy iterasiya jarayoniga nisbatan tezroq yaqinlashishini qat’iy ravishda asoslab o’tirmasdan misol keltirish bilan chegaralanamiz.

Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri. Biz oldingi

punktlarda iterasion jarayonning ideal modelini ko’rib chiqqan edik. Bu modelda ^{xn } ketma-
ketlikniig barcha elementlari absolyut aniq hisoblangai deb faraz qilingan edi. Aslida esa qulda hisoblanayotganda ham, mashinada hisoblanayotganda ham, biz amamalarni chekli miqdordagi raqamlar ustida bajaramiz. Buning natijasida, ya’ni yaxlitlash hisobidan, hisoblash xatosi kelib

chiqadi. Iterasiyaning birinchi qadamida
^{x1  (x0 )} o’rniga unga yaqinroq bo’lgan
^x1 hosil qilamiz.

Bu yerda
x₁  x₀   ₀
hisoblash xatosi hosil bo’ladi. Ikknnchi qadamda esa xato ikki sababga

ko’ra hosil bo’ladi: birinchidan
 (x)
funksiyada
^x1 o’rniga
^x1 qo’yiladi, ikkinchidan
 (x₁ )

yaxlitlash xatosi bilan hisoblanadi. Demak, topilgan ^x2
qiymat faqat taqribiy ravishda
 (x₁ ) _ga

teng:
x₂  (x₁ )  ₁ ,₁ 
hisoblash xatosidir.

Shunday qilib, iterasiya metodiki qo’llayotganda ^{(n  0,1,2. . .)} ketma-ketlik o’rniga

x
~
n1
  (x_n
)   _n ,
(n  0,1, . . .)

ketma-ketlikka ega bo’lamiz, bu yerda ^{ n}
- hisoblash xatosi.

Yuqorida isbot qilingan teoremaning xulosasi
{x_n }
ketma-ketlikka taalluqli bo’lgani

uchun, agar biz qo’shimcha shart qo’ymasak, bu xulosa ^{{~xn }} ketma-ketlik uchun o’rinli bo’lmaydi, xatto bu ketma-ketlik ^ ildizga yaqinlashmasligi ham mumkin. Shuning uchun quyidagi teoremani isbot qilamiz.
Nyuton metodi sonli tenglamalarni yechishning juda ham effektiv metodidir. Bu metodning afzalligi shundan iboratki, hisoblash sxemasi murakkab bo’lmagan holda ketma-ket yaqinlashishlar ildizga tez yaqinlashadi. Nyuton metodi iterasiya metodi kabi universal metoddir. Bu metod yordamida sonli tenglamalarning haqiqiy va kompleks ildizlarini topish hamda keng sinfdagi chiziqli bo’lmagan funksional tenglamalarni yechish mumkin. Formal nuqtai nazardan qarlaganda Nyuton metodi iterasiya metodining xususiy holidir, aslida esa bu metodning asl g’oyasi iterasiya metodining g’oyasidan tamoman farqlidir. Bu metod chiziqli masalalarning ketma-ketligini yechishga olib keladi. Buning uchun berilgan tenglamadan uning bosh chiziqli qismi ajratib olinadi. Biz avval bita sonli tenglama uchun Nyuton metodini ko’rib chiqamiz. Faraz qilaylik, bizga

f ( x)  0
(25)

tenglama va uning ildiziga dastlabki yaqinlashish qiymati ^x0
berilgan bo’lsin. Bu yerda
f (x) _ni

yetarlicha silliq funksiya deb olamiz. Odatdagidek, (25) tenglamaning aniq ildizini ^ orqali

belgilaymiz. Endi
  x₀  h
deb olib,
f (x)
funksiyaning ^х0
nuqta atrofidagi Teylor qatori

yoyilmasidagi dastlabki ikkita hadini olib nolga tenglashtirsak, ^h ga nisbatan quyidagi
0  f ( x₀  h)  f ( x₀ )  f ^(x₀ )h
chiziqli tenglama ega bo’lamiz. Bu tenglamani yechib, ^h xatoning taqribiy qiymatini topamiz:

h  
f (x₀ )

0
⁰ f ^(x ) _.

Bu tenglamani ^{  x0  h}
ga keltirib qo’yib, navbatdagi yaqinlashish

0
x  x
_ f (x₀ )

ni topamiz. Xuddi shunga o’xshash

^{1 0} f ^(x )

x  x

• 
  f (x_n )
  

(n  0,1,...)

n1

n
ⁿ f ^(x )
(26)

ketma-ket yaqinlashishlarni hosil qilamiz. Bu formulalar yordamida Nyuton ketma-ketligini hosil

qilish uchun ^xn
kerak.
lar
f (x)
funksiyaning aniqlanish sohasida yotish va ular uchun
f ^(x_n )  0
bo’lishi

Nyuton metodi judda ham sodda geometrik ma’noga ega. Haqiqattan ham, funksiyani
y  f ( x)

y  f (x_n )  f ^(x_n )(x  x_n )
(27)

to’g’ri chiziq bilan almashtiramiz, bu to’g’ri chiziq esa
M _n (x_n ,
f (x_n ))
nuqtada
y  f ( x)
egri

chiziqqa o’tkazilgan urinmadir. Nyuton metodi urinmalar metodi deb ham yuritiladi. Nyuton metodini iterasiya metodidan keltirib chiqarish ham mumkin, buning uchun (25) tenglamaning

x  ( x)
kanonik ko’rinishida

 (x)  x 

f (x)


f ^(x)

deb olish kifoyadir.

Mustaqil ishlash uchun savollar

1. 
   Dastlabki yaqinlashishni topish.
   
2. 
   Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish.
   
3. 
   Iterasion usullarning asosiy mohiyati.
   
4. 
   Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi.
   
5. 
   Iterasiya usulini yaqinlashishini baholash.
   

47