Mavzu. Bir o’zgaruvchili chiziqlimas tenglamalar. Ildizlarni aniqlashtirish usullari. Iteratsiyalar usuli Reja
Download 426.65 Kb.
|
2-mavzu
- Bu sahifa navigatsiya:
- I- teorema.
|
Oddiy iterasiya metodi. Biz hozir oddiy iterasiya (yoki ketma-ket yaqinlashish) metodi bilan bitta sonli tenglama misolida tanishamiz. Bu metodning umumiy nazariyasn bilan keyingi
paragrafda tanishib chiqamiz. Iterasiya metodini qo’llash uchun kuchli bo’lgan quyidagi f ( x) 0 tenglama unga teng x (x) (7) kanonik shaklga keltnrilgan va ildizlari ajratilgan bulishi kerak. (7) tenglamaning ildizi yotgan atrofiing biror x0 nuqtasini izlanayotgan ildizning nolinchi yaqinlashishi deb olamiz. Navbatdagi yakinlashishini topish uchun (7) ning o’ng tomoniga x0 ni qo’yamiz va hosil bo’lgan (x0 ) qiymatini x1 bilan bolg’ilaymiz, ya’ni x1 (x0 ) . (8) Topilgan x1 sonni (7) ning o’ng tomoniga qo’yib, yangi son x2 (x1 ) ni hosil qilamiz. Bu хn (xn1 ) (n 1, 2, . . . ) . (9) Bu formula yordamida topilgan sonlar ketma-ketgilining limiti ya’ni lim xn n (10)
mavjud va (x) funksiya uzluksiz bo’lsa, (3.3) tenglikning ikkala tomonida limitga o’tib, lim xn lim ( xn1 ) (lim xn ) ( ) ya’ni
n ( ) n , ga ega bo’lamiz. Bu tenglikdan ko’rinadlik, berilgan tenglamaning ildizi ekan. Demak, bu ildizni (9) formula yordamida istgalgan aniqlik bilan hisoblash mumkin, (10) limit mavjud bo’lgan holda lim xn iterasiya jarayoni yaqinlashuvchi deyiladi. Lekin n mavjud bo’lmasligi ham mumkin, bunday holda oddiy iterasiya usuli maqsadga muvofiq bo’lmaydi. Iterasiya metodi sodda geometrik ma’noga ega. Buni tushunish uchun y ( x) va y x funksiyalarning grafiklarini chizamiz. Bu grafiklarning kesishgan M nuktasining abssissasi (7) tenglamaning x ildizldir. chizma Faraz qilaylik, x0 nolinchi yaqinlishish bo’lsin, u vaqtda A0 (x0 , ( x0 )) nuqta y ( x) egri chiziqda yotadi. Bu nuqtadan gornzontal (ox o’qiga parallel) chiziq o’tkazamiz. Bu chiziq u=x bissektrisani B1 ( (x0 ),( x0 )) nuqtada kesadi. (x0 ) ni x1 bilan belgilab olsak, B1 nuqtaning koordinatalari (x1 , x1 ) ko’rinishga ega bo’ladi. B1 nuqta orqali ou o’qqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazsak, u y ( x) egri chiziqni A1 (x1 , (x1 )) nuqtada kesadi. Bu jarayonni davom ettirib, y x bissektrisada yotgan B2 (x2 , x2 ) (bu yerda х2 (x1 ) ) so’ng y ( x) egri chiziq ustida A2 (x2 , (x2 )) nuqtaga ega bo’lamiz va h.k. chizma Agar iterasiya jarayoni yaqinlashsa, u vaqtda A0 , A1 ,..., An ,... nuqtalar izlanayotgan M nuqtaga yaqinlashadi. A0 , A1 , A2 ,... nuqtalarning x0 , x1 , x2 ,... abssissalari ga, ya’ni (7) quyidagidan iborat: y ( x) egri chiziq bilan koordinatalar burchagi bissektrisaning kesishish nuqtasiga siniq chiziq bo’ylab harakat qilamiz, siniq chiziqning uchlari navbat bilan egri chiziq va bissektrisa ustida yotadi, tomonlari esa navbat bilan gornzontal va vertikal yo’nalgan bo’ladi. Agar egri chiziq va bissektrisa 5-chizmadagidek joylashgan bo’lsa, u vaqtda siniq chiziq zinapoyani eslatadi. Agar egri chiziq va bissektrisa 6- chizmadagidek bo’lsa, unda siniq chiziq spiralni eslatadi. chizma Iterasion jarayon uzoqlashishi ham mumkin. Buning geometrik ma’nosi shundan iboratki, zinapoyaning pog’onalari (yoki spiralning bug’inlari) borgan sari kattalashadi, shuning uchun ham A0 , A1 , A2 ,... nuqtalar M ga yaqinlashmaydi, balki uzoqlashadi (7-8-chizmalar). Modomiki, iterasiya jarayoni har doim yaqinlashavermas ekan, demak, bu jarayon yaqinlashishi uchun qanday shartlar bajarilishi kerakligini aniqlash kata ahamiyatga ega. Bu shartlar Ushbu teoremada ko’rsatiladi. I- teorema. Faraz qilaylik, qanoatlantirsin: (x) funksiya va dastlabki yaqinlashish х0 quyidagi shartlarni 1) (х) funksiya x x0 (11)
oraliqda aiqlangan bo’lib, bu oraliqdan olingan ixtiyoriy ikkita x va y nuqtalar uchun Lipshis shartini qanoatlatirsin: (x) | (x) ( y) | q x y 2) quyidagi tengsizliklar bajarilsin: (0 q 1) ; (12) | хn ( x0 ) | , 1 q . (13) U holda (7) tenglama (11) oraliqda yagona ildizga ega bo’lib, intiladi va intilish tezligi {xn } ketma-ketlik bu yechimga tengsizlik bilan aniqlanadi. | xn | qn 1 q (14)
chizma Isbot. Avval induksiya metodnni qo’llab, ixtiyoriy p uchun xn ning (11) oraliqda yotishligi va ni ko’rish mumkinligini, xn n 1 n tengsizlikning bajarilishini ko’rsatamaz. | x x | qn (15) Agar p = 0 bo’lsa, х1 (x0 ) bo’lgani uchun (15) tengsizlik (13) dan kelib chiqadi. Bundan tashqari, 1 q bo’lgani uchun | х1 x0 | tengsizlik bajarilib, x1 (11) oraliqda yotadi. Endi faraz qilaylik, x1 , x2 ,..., xn lar qurilgan bo’lib, ular (11) oraliqda yotsish va k 1 k | x x | qk (k 0,1,..., n 1) tengsizliklar bajarilsin. Induksiya shartiga ko’ra xn (11) da yotadi, (x) (11) da aniqlangan, shuning uchun ham xn1 ( xn ) ni ko’rish mumkin. Teoremaning 1-shartidan | xn1 xn | | (xn ) (xn1 ) | q xn xn1 kelib chiqadi. Lekin xn1 va x uchun induksiya shartiga ko’ra | xn xn1 | qn1 o’rinli, demak, n | xn 1 xn | qn . Bu esa xn1 va xn uchun (15) tengsizlikning bajarilshini ko’rsatadi. Nihoyat, | xn1 x0 | | xn1 xn | | xn xn1 | . . . | x1 x0 | qn q n1 . . . 1 qn1 1 q qn 1 q munosabatlar xn1 ning (11) oraliqda yotishini ko’rsatadi. Shu bilan isbot qilinishi talab etilgan mulohaza tasdiqlanadi. Endi {xn } ning fundamental ketma-ketlik tashkil etishini ko’rsatamiz. (15) tengsizlikka yoki | хn p xn | | x n p xn | . . . | x n1 xn | qn p1 . . . qn qn 1 q | xn p xn | qn 1 q . (16) n Bu tengsizlikning o’ng tomoni p ga bog’liq bo’lmaganligi va 0 q 1 bo’lganidan {xn } ketma- lim x ketlikning fundamentalliga va uning limiti n mavjudligi kelib chiqadi. {xn } ketma-ketlik (11) oraliqda yotgani uchun ham shu oraliqda yotadi. (12) shartdan (x) ning uzluksizligi kelib chshqadi, shuning uchun ham ekanligini isbot qilamiz. xn1 ( xn ) tenglikda limitga o’tib, (7) tenglamaning ildizi Endi ildizning (11) oraliqda yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, ~ (7) tenglamaning | ~ | | (~) ( ) | q | ~ | , 0 q 1 bo’lgani uchun bu munosabat faqat ~ bo’lgandagina bajariladi. Yaqinlashish tezligini ko’rsatuvchi (14) tengsizlikni keltirib chiqarish uchun (16) tengsizlikda p limitga o’tish kifoyadir. Teorema isbot bo’ldi. Download 426.65 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|