Мавзу: Дифференциал тенглама хақида тушунча

ТАЪРИФ. Дифференциал тенглама ечимининг графиги интеграл эгри чизиқ дейилади.


Маъруза №2
Мавзу: Ўзгарувчилари ажраладиган дифференциал тенгламалар.
Режа:

1. 
   Биринчи тартибли дифференциал тенглама.
   
2. 
   Ўзгарувчилари ажралган дифференциал тенглама.
   
3. 
   Ўзгарувчилари ажраладиган дифференциал тенглама.
   

1. 
   Биринчи тартибли оддий дифференциал тенглама умумий кўриниши қуйидагича бўлади:
   

(1)


-эркли ўзгарувчи, -ноъмалум функция
-ноъмалум функция ҳосиласи
Агар (1) ни га нисбатан ечиш мумкин бўлса, у ҳолда


(2) бўлади (2)

(2) дан дифференциал иштирок этган кўринишга ўтиш осон, яъни

(3)
кўринишга эга.
Ҳақиқатан, агар десак, бу ердан ва аксинча (3) дан (2) га ўтиш осон.
Дифференциал тенгламани умуман айтганда, битта функция эмас, балки функцияларнинг бутун бир тўплами қаноатлантириши мумкин. Улардан бирини ажратиб кўрсатиш керак, яни
бўлганда кўринишдаги шарт берилиши керак. Бу шарт бошланғич шарт дейилади ва қуйидагича ёзилади:

(2) , (4) масала Коши масаласи дейилади.

Теорема: ( Ечимнинг E ва ! хақидаги теорема) Агар нуқтани ўз ичига олган сохада функция узлуксиз ва узлуксиз хусусий хосилага эга былса, у холда (2) дифференциал тенгламанинг (4) бошлан\ич шартни қаноатлантирувчи ечими ва ! бўлади.
Таъриф: Биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг умумий ечими деб қуйидаги шартларни қаноатлантирувчи функцияга айтилади:
а) ихтиёрий ўзгармас нинг хар қандай қийматида дифференциал тенгламани қаноатлантиради.
б) бошланғич ₀ шарт хар қандай бўлганда хам ўзгармас нинг шундай қийматини топиш мумкинки, функция берилган бошланғич шартни қаноатлантиради, яъни
Таъриф: Дифференциал тенгламанинг умумий ечимидан ўзгармаснинг мумкин бўлган қийматларида хосил қилинадиган ечимлар хусусий ечимлар дейилади.

2. 
   Дифференциал тенгламанинг энг содда тури ўзгарувчилари ажралган тенгламадир. Унинг умумий кўриниши:
   

(5)
Бу тенгламанинг мухимлиги шундаки олдидаги функция фақат га боғлиқ, олдидаги функция фақат га боғлиқ. Бу тенгламанинг умумий ечимини топиш учун, уни хадлаб интеграллаш орқали хосил қилинади:

Бу ерда ўзгармас ни берилган тенглама учун қулай бўлган исталган кўринишида олиш мумкин.
1-мисол.



Бу маркази координаталар бошида бўлган, радиуси бўлган концентрик айланалар оиласидан иборат.
(6)
3. Кўринишдаги дифференциал тенглама ўзгарувчилари ажраладиган тенглама дейилади.
(6) да ифодага бўлиб, уни ўзгарувчилари ажралган (5) тенгламага келтириш мумкин:

буни эса интеграллаб умумий ечим топилади.
Ушбу кўринишдаги тенглама хам ўзгарувчилари ажраладиган тенгламадир. десак, у холда
интегралласак
бўлади.

2-мисол. қуйидаги дифференциал тенгламани умумий ечимини топинг.

интеграллаймиз.

бу ерда ўзгармас -ни ечим кўриниши осон бўлиши учун 1/6 деб олдик.