Мавзу: Дифференциал тенглама хақида тушунча

Маъруза №6 (№7)
Мавзу: Коши масаласи ечими мавжудлиги ва ягоналиги .

Режа

1. 
   Коши масаласи ҳақида тушунча.
   
2. 
   Мавжудлик ва ягоналик теорамалари. Коши, Пикар-Линделеф, Пеано теоремаси.
   
3. 
   Эквивалентлик леммаси. Гронуолл леммаси.
   

Коши масаласининг қўйилиши:

(1)
тенглама берилган бўлиб, унда функция текисликнинг соҳасида аниқланган, узлуксиз ва интервал ўқидаги интервал бўлсин, ни ўз ичига оладиган интервални ва шу интервалда аниқланган узлуксиз дифференциалланувчи ҳамда ушбу


(2)

шартларни қаноатлантирувчи функцияни топиш талаб этилади. Бу масала қисқача

каби ёзилади ва (1) тенглама учун Коши масаласи (ёки бошланғич масала) дейилади. Юқоридаги 1⁰,2⁰ ва 3⁰ шартларни қаноатлантирадиган функция интервалда Коши масаласининг ечими дейилади.
Хар бир (1) кўринишдаги дифференциал тенглама учун Коши масаласи (1) ва (2) нинг ечими борми? Агар бундай ечим бор булса ягонами?- деган саволларга жавоб бериш керак бўлади. Бу саволларга жавоб берадиган теоремалар мавжудлик ва ягоналик теоремалари деб юритилади. қуйида улардан асосийларни келтирамиз ва Коши-Пикар теоремасини исботи билан берамиз.
1-теорема (Коши теоремаси). Агар функция сохада аниқланган ва узлуксиз бўлиб, унинг y бўйича хусусий хосиласи , бирор сохада аниқланган ва узлуксиз бўлса, у холда :
1⁰. (1) тенгламанинг –ни ўз ичига оладиган бирор интервалда аниқланган ва хар бир берилган нуқта учун бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечими мавжуд.
2⁰ . Агар (1) тенгламанинг иккита ва ечимлари да устма-уст тушса, яъни , бўлса, у холда бу ечимлар аниқланиш сохаларининг умумий қисмида устма-уст тушади.
Таъриф: Агар функция сохада аниқлагана бўлиб, шу функция учун шундай сон мавжуд бўлсаки, ихтиёрий нуқталар учун ушбу

тенгсизлик бажарилса, у холда функция сохада у бўйича Липшиц шартини қаноатлантиради дейилади, эса Липшиц ўзгармаси дейилади.
2-теорема. (Коши-Пикар-Линделеф Теоремаси) Агар


(1)
тенгламада функция:
1⁰)
тугри тўртбурчакда узлуксиз(демак, унда чегараланган, яъни бўлса,
2⁰) бўйича Липшиц шартини қаноатлантирса, у ҳолда (1) тенглама (2) бошланғич шартни қаноатлантирадиган ва интервалда аниқланган ягона ечимга эга бўлади.
3-теорема.(Пеано теоремаси) Агар функция соҳада аниқланган ва узлуксиз бўлса, у холда соҳанинг берилган нуқтаси учун (1) тенгламанинг иккинчи шартини қаноатлантирадиган камида битта ечими мавжуд бўлади.
Пикар теоремасини исботига ўтишдан аввал зарур икки тасдиқни келтирамиз: