Мавзу: Дифференциал тенглама хақида тушунча

Маъруза №3
Мавзу: Бир жинсли диференциал тенгламалар ва уларга келтириладиган тенгламалар.

Режа

1. 
   Бир жинсли функция. Мисоллар.
   
2. 
   Бир жинсли диференциал тенглама. Мисоллар.
   
3. 
   Бир жинсли диференциал тенгламага келтириладиган тенгламалар. Мисоллар.
   

ва га нисбатан бир жинсли тенглама ўзгарувчиларини алмаштириш ёрдамида осонгина ўзгарувчиларга ажраладиган тенгламаларга келтириш мумкин. Бир жинсли тенгламага таъриф беришдан олдин бир жинсли функцияга таъриф берайлик.
Таъриф: Агар функцияда ва ўзгарувчиларни мос равишда ва га алмаштирганда ( - параметр) га кўпайтирилганда яна ўша функция ҳосил бўлса, яъни

шарт бажарилса, функция ўлчовли бир жинсли функция дейилади. ( -функция бир жинслилигининг ўлчови дейилади).
Бир нечта мисоллар кўрайлик.
1-мисол.
функция бир ўлчовли бир жинсли функциядир, чунки,

2-мисол.
0 ўлчовли бир жинсли функция бўлади, чунки
= = , яъни
(x,y)
Тасдиқ:
шартга бўйсинадиган ўлчовли бир жинсли функция

кўринишида ёзилиши мумкин.
Исбот. Ҳақикатдан ҳам, параметрни танлаб олиш мумкин бўлгани учун деб оламиз.
У ҳолда

2-мисолдаги функцияни қуйидагича ёзиш мумкин:

Биз қуйидаги 0 ўлчавли бир жинсли функция билан иш кўрамиз.

1. 
   Таъриф: Агар 1-чи тартибли дифференциал тенгламанинг ўнг томони ва га нисбатан 0 ўлчовли бир жинсли функция бўлса, у ҳолда бундай тенглама бир жинсли тенглама дейилади.
   
2. 
   Шундай қилиб бир жинсли тенгламани
   

1)
кўринишда ёзиш мумкин экан.
Бир жинсли (1) тенгламани ўрнига қўйиш ёрдамида ўзгарувчилари ажраладиган тенгламага келтириш мумкин, у щолда , бу ерда u-янги изланаётган функция. Кейинги тенгликни дифференциаллаб, ни ҳосил қиламиз. ва қийматларини (1)га қўямиз ва қуйидагини ҳосил қиламиз:

ўзгарувчилари ажраладиган тенглама

ҳосил қиламиз.
Буни интеграллаймиз.


Интеграллашдан сўнг u ўрнига нисбатни қўйиб, (1)тенгламанинг умумий ечимини ҳосил қиламиз. ушбу
(2)

Тенгламада лар бир хил ўлчавли бир жинсли функциялар бўлгандагина (2)тенглама бир жинсли тенглама бўлади.

Бу 2 та бир хил ўлчовли бир жинсли функция нисбати 0 улчовли 1 жинсли функция бўлишидан келиб чиқади.
(2) кўринишдаги тенгламани ечиш учун уни дастлаб (1) кўринишга келтириш керак:
ўлчовли бир жинсли функция
Масалан,
тенглама бир жинслидир, чунки ва функция 2 ўлчовли бир жинсли функциялардир. Тенгламани ечишдан олдин уни ҳосилага нисбатан ечиш шаклига келтириш керак:

3. 
   қуйидаги
   

(3)
кўринишдаги тенглама бир жинсли тенгламага келтирилади. Бунинг учун ва - ларни ўрнига янги ва ўзгарувчиларни қуйидагича киритамиз:
(4)
бунда α ва β-ларни шундай танлаймизки, тенглама бир жинсли тенгламага айлансин. Бундай алмаштиришда бўлади. Буларни (3)га қўйиб қуйидагини ҳосил қиламиз:
(5)
қуйидаги тенгликлар бажарилса, (5) тенглама бир жинсли бўлади:
(6)
Бу системани α ва β га нисбатан ечиб, α ва β нинг (4)ўрнига қўйиш (3) тенгламани бир жинсли қиладиган қийматларини аниқлаймиз:
Агар бўлса, улар (6) система ечимига эга бўлмайди. Бундай ҳолда (3) тенглама ўзгарувчиларини ажраладиган тенгламага

ўрнига қўйиш орқали келтирилади.