Мавзу: Дифференциал тенглама хақида тушунча

1-мисол. тенгламани ўрнига қўйиш усули билан ечинг.
Ўзгармасини вариациялаш усули. Бу усулда бир жинсли бўлмаган (1) тенгламани ( ) ечимини излаш ўрнига дастлаб унга мос бир жинсли
(8)
тенгламани ечамиз, бу тенглама ўзгарувчилари ажратиладиган тенгламадир. Унинг умумий ечими:
(9)
Бу ерда ўзгармасни функция деб қарайдиган бўлсак, у ҳолда формулани шундай танлаб олиш мумкин эканки, (9) функция бир жинсли бўлмаган (1) тенгламанинг ечими бўлар экан.
функцияни топиши учун функциянинг ҳосиласини ҳисоблаймиз, ва нинг ифодаларни (1) тенгламаларга қўямиз, яъни

бўлгани учун (1) тенглама ушбу тенгламага ўтади:

(10)
Биз яна ўзгарувчилари ажраладиган ва номаълум функция бўлган тенгламани ҳал қилишга келдик. (10) дан

келиб чиқади. Бу (10) ни умумий ечими бўлади. нинг танланган ифодасини (9) тенгликка қўйиб бир жинсли бўлмаган (1) тенгламанинг изланаётган ечимини яна (7) кўринишда ҳосил қиламиз:
(7)
Олдинги (7) билан бир хил бўлар экан.
Бу усулнинг номи ўзгармасни нинг функцияси деб қараб, уни вариациялаганимиздан (ўзгартирганимиздан) келиб чиққан.
Бу усул ўрнига қуйиш усули каби (1) тенгламани ўзгарувчиларга ажратиладиган иккита (8) ва (10) тенгламага келтирилди.
2-мисол. тенгламани 2-чи усул бўйича ечинг.
3. Бернулли тенгламаси
Бернулли тенгламасининг умумий кўриниши;
, (11)
бу ерда да Бернулли тенгламаси чизиқли тенгламага айланади; да ўзгарувчиларга ажраладиган тенглама бўлади, чунки уни

кўринишга келтириш мумкин. Шунинг учун деб фараз қиламиз.
Бернулли тенгламасини тегишли ўрнига қўйиш орқали чизиқли кўринишга келтириш мумкин. Бунинг учун тенгламанинг иккала қисмини га бўламиз:

дейлик. у ҳолда

ва Бернулли тенгламаси ушбу кўринишга келади:


Бу га нисбатан биринчи тартибли чизиқли тенглама, бу тенгламани ечишни биламиз. Мисол кўрилади.