Мавзу: Эллиптик егри чизиқ ва унининг графиклари, унга тегишли нуқталарни қўшиш. Режа

ГИПЕРБОЛА
2. Таъриф. Гипербола деб текисликда шундай чизиққа айтиладики, унинг ҳар бир нуқтасидан берилган икки _{ } ва _{ } нуқтагача бўлган масофаларнинг айирмаси ўзгармасдир. _{ } ва _{ } нуқталар гиперболанинг фокуслари дейилади. Фокуслар орасидаги маълум масофа

орқали белгиланади; _{ } тўғри чизиқ гиперболанинг фокал ўқи деб юритилади.
Гиперболанинг ихтиёрий нуқтасини _{ } билан белгиласак, _{ } учбурчакда

бўлади, яъни _{ } ёки _{ }



Агар _{ } бўлса,

яъни _{ } нуқталар _{ } кесмани бутун тўғри чизиққа тўлдиради.
Бизга гипербола берилган, яъни унинг _{ } ва _{ } фонуслари ҳамда _{ } ва _{ } сонлар берилган. Текисликда тўғрибурчакли декарт системасини ўрнатамиз, уни берилган парабола учун каноник система деб атаймиз. Бу системанинг боши гиперболанинг фокал ўқи билан устма-уст тушади. Абсцисса ўқининг мусбат йўналиши учун _{ } векторнинг йўналишини қабул қиламиз. У вақтда

_{ }- гиперболанинг ихтиёрий нуқтаси бўлсин.
_{ } ва _{ }
сонлар _{ } нуқтанинг фокал радиуслари дейилади. Унда

Таърифга кўра гиперболанинг ҳар бир _{ } нуқтаси учун
ёки _{ }
бундан
_{ }
Бу гиперболанинг текисликда танлаб олинган системага нисбатан тенгламасидир. Иррационалликдан қутулиш учун уни

кўринишда ёзамиз ва кейинги тенгламани иккала томонини квадратга кўтарамиз

бундан (соддалаштиргандан кейин) топамиз

Бу тенгламани иккала томонини яна квадратга кўтарамиз

ёки

_{ } бўлгани учун _{ } уни _{ } орқали белгилаймиз
_{ }, _{ }.
У вақтда
_{ }
ёки
_{ }
(2) тенглама гипербола тенгламаси бўлишини кўрсатиш қолди: ҳозирча биз ҳар бир _{ } нуқта (2) тенгламани қаноатлантирса, (2а) тенгламани ҳам қаноатлантиришини кўрсатдик.
Яна бу тасдиқни тескарисини ҳам исбот қилиш керак: (2а) тенгламани қаноатлантирадиган ҳар бир _{ } нуқта (2) тенгламани ҳам қаноатлантиради.
_{ } нуқта (2а) тенгламани қаноатлантирувчи ихтиёрий нуқта бўлсин. (2а) дан топамиз



яъни
_{ }
Худди шунга ўхшаш


тенгламадан
_{ }
ёки _{ } лекин _{ } шунинг учун _{ }.
Энди қуйидагиларррга эга бўламиз _{ } бўлганда, _{ } ва

_{ } бўлганда эса, _{ } ва

бўлади.
Бу тенгликлардан топамиз
ёки _{ }
яъни _{ } гиперболада ётади. Демак, (2а) тенглама гипербола тенгламаси бўлади; у гиперболанинг каноник тенгламаси дейилади.
(*) ва (**) формулалар гипербола ихтиёрий нуқтасининг фокал радиусларини унинг абсциссаси орқали чизиқли ифодалайди.
Равшанки,

бунга кўра


(2а) тенгламадан ушбу натижага келамиз: гиперболанинг иккала ўқи ҳам унинг симметрия ўқи бўлади; гиперболанинг маркази эса унинг симметрия маркази бўлади.
Гипербола тенгламасидан

тенгсизлик келиб чиқади, уни
_{ } ва _{ }
кўринишларда ёзиш мумкин, ёки
_{ } ва _{ }.
Бундан кўринадики, гипербола икки бўлакдан иборат;

Параллел тўғри чизиқлар билан чегаралнган соҳа (полоса)да гипербола нуқталари йўқ.

Шу билан бирга гипербола ордината ўқи _{ } билан кесишмайди. Шунга кўра ордината ўқи (2а) тенглама билан берилган гиперболанинг мавҳум ўқ дейилади. Гиперболанинг фокал ўқи (ҳақиқий ўқи) билан кесишган

нуқталари унинг учлари дейилади. I чоракда гипербола тенгламасини қараймиз

Бундан кўрамизки,

бўлганда

Каноник координаталар системасида _{ } ва _{ } тўғри чизиқлар билан чегараланган тўғри тўртбурчак гиперболанинг асосий тўртбурчаги дейилади. Асосий тўртбурчакнинг томонлари _{ } ва _{ }.

Гиперболанинг маркази _{ } нуқтадан ўтган _{ } тўғри чизиқнинг параметрик тенгламалари

бўлсин. _{ } тўғри чизиқнинг гипербола

билан кесишган нуқталарини топамиз, бунинг учун уларнинг тенгламаларини биргаликда ечиш керак

Агар
_{ }
бўлса, у ҳолда

яъни гипербола _{ } тўғри чизиқ билан иккита нуқтала кесишади:
 ва 
Агар
_{ }
бўлса, гипербола _{ } тўғри чизиқ билан кесишмайди.
Хусусий ҳолда

бўлганда
_{ 
 } тўғри чизиқ тенгламасини

кўринишда олсак, бурчак коэффициентлари

бўлган иккита
ва 
тўғри чизиққа эга бўламиз, улар гиперболанинг асимптоталари дейилади.
_{ } ўзгарувчининг бирор қийматини оламиз, бунда _{ }. Бу қийматга _{ } ярим текисликда гиперболанинг _{ } нуқтаси ва _{ } асимптотада _{ } нуқта мос келади (_{ }), бунда

Булардан

_{ } ва _{ } нуқталар координаталарининг айирмасини топамиз

_{ } абсцисса чексиз ўсганда _{ } айирма мусбатлигича қолади, монотон камаяди ва нолга интилади, яъни _{ } ва _{ } нуқталар чексиз узоқлашиб, бир бирига яқинлашади. Бошқача айтганда гиперболанинг тармоғи ўз асимптотасига чексиз яқинлашади. _{ } ярим текисликда ҳам аҳвол шундай.
Энди гиперболанинг умумий кўриниши равшан. Гиперболанинг асимптоталари асосий тўртбурчакнинг диагоналларини ўз ичига олади.
Агар _{ } бўлса, яъни асосий тўғри тўртбурчак квадрат бўлса, гиперболанинг эксцентриситети

ва гиперболанинг асимптоталари ўзаро перпендикулярдир. Бу ҳолда гипербола тенг томонли дейилади; унинг тенгламаси

а симптоталари _{ }
Агар гиперболанинг асимптоталарини координата ўқлари сифатида қабул қилинса, унинг тенгламаси

кўринишни олади, асимптоталари

тенгламалар билан берилган гиперболалар умумий асимптоталарга эга _{ }.

Бундай икки гипербола қўшма гиперболалар дейилади.

Гиперболанинг директрисалари деб унинг фокал (ҳақиқий) ўқига перпендикуляр

тўғри чизиқларга айтилади. Гипербола учун _{ } шунинг учун

яъни гиперболанинг директрисалари унинг маркази ва мос учлари орасидан ўтади.

Гиперболанинг ихтиёрий _{ } нуқтасидан унинг мос директрисаларигача масофаларни _{ } ва _{ } орқали белгиласак, гиперболанинг асосий хоссасини

тенгликлар билан ифодалаш мумкин.