Мавзу: Эллиптик егри чизиқ ва унининг графиклари, унга тегишли нуқталарни қўшиш. Режа

Мавзу: Эллиптик егри чизиқ ва унининг графиклари, унга тегишли нуқталарни қўшиш.
Режа:

1. 
   Иккинчи тартибли чизиқларнинг каноник тенгламалари ва уларнинг геометрик хоссалари
   
2. 
   Иккинчи тартибли чизиқларнинг типлари. Асимптотик йўналиш.
   
3. 
   Иккинчи тартибли чизиқнинг бош йўналишлари. Бош диаметрлар (ўқлар)
   

1. Иккинчи тартибли чизиқларнинг каноник тенгламалари ва уларнинг геометрик хоссалари. Таъриф. Эллипс деб текисликда шундай чизиққа айтиладики, унинг ҳар бир нуқтасидан берилган икки нуқтагача (фокусларгача) бўлган масофаларнинг йиғиндиси ўзгармасдир.
Бу ўзгармас сонни _{ } билан белгилаймиз.
Эллипснинг фокусларини _{ } ва _{ } орқали белгилаймиз, у ҳолда _{ } тўғри чизиқ эллипснинг фокал ўқи дейилади, фокуслар орасидаги масофа _{ } орқали белгилаймиз. _{ }-эллипснинг қандайдир нуқтаси бўлсин.

бўлгани учун _{ } бўлади. Агар _{ } бўлса, ҳамма _{ } нуқталар учун

бўлади, яъни _{ } кесмадан иборат бўлади. Бу ҳолни келгусида қарамаймиз ва шунинг учун _{ } деб ҳисоблаймиз. _{ } кесманинг ўртаси _{ } нуқтани эллипснинг маркази дейилади.
Бизга эллипс берилган бўлсин, у ҳолда унинг фокуслари _{ } ва _{ } берилган бўлади. Текисликда тўғри бурчакли декарт системасини ўрнатамиз, уни (берилган, эллипс учун) каноник система деб атаймиз. Каноник системанинг координата боши _{ } эллипснинг маркази, абсцисса ўқи эса фокал ўқдан иборат.
Бу системада
_{ } ва _{ }

Энди фараз қилайлик, _{ } эллипснинг ихтиёрий нуқтаси бўлсин. _{ } нуқтадан фокусларгача масофаларни  ва орқали белгилаймиз.

_{ } ва _{ } масофалар _{ } нуқтанинг фокал радиуслари дейилади.
Икки нуқта орасидаги масофа формуласига асосан

Агар _{ } - эллипс нуқтаси бўлса, у ҳолда таърифга кўра
_{ } (1)
бўлади, яъни
_{ }=2a (1a)
Бу тенглама эллипснинг танлаб олиган системадаги тенгламасидир. Бу тенгламада иррационалликдан қутулиш мумкин



бундан

бу тенгламани яна бир марта квадратга кўтарамиз

ёки

_{ } бўлгани учун _{ }уни _{ } билан белгилаймиз

У ҳолда
_{ }
ёки
_{ }
Биз агар _{ } нуқта эллипсда ётса, унинг координаталари (2) тенгламани қаноатлантиришини кўрсатдик. Энди бунинг тескарисини исботлаш керак, яъни (2) тенгламани қаноатлантирувчи ҳар бир нуқта эллипсда ётади ва унинг учун _{ } шарт ўринли бўлади, у вақтда (2) эллипс тенгламаси бўлади. _{ } нуқта (2) тенгламани қаноатлантирувчи нуқта бўлсин. (2) дан топамиз

У вақтда



бундан

лекин (2) тенгламага кўра _{ }; бундан ташқари _{ }; шунинг учун _{ }, яъни _{ }, демак,

Худди шунга ўхшаш

(3) ва _{ } тенгликлардан _{ } яъни _{ } нуқта эллипсда ётади. (2) тенглама эллипснинг каноник (содда) тенгламаси деб айтилади. Эллипс иккинчи тартибли чизиқ экан.

Агар _{ } бўлса, (2) тенглама _{ } кўринишини олади, яъни айлана эллипснинг хусусий ҳоли экан. (2) тенглама бўйича эллипснинг шаклини текширамиз. (2) тенгламада _{ } ва _{ } ўзгарувчиларнинг фақат 2-чи даражалари қатнашади, шунинг учун агар _{ } нуқта эллипсга қарашли бўлса, _{ } нуқтага абсцисса ўқига нисбатан симметрик _{ } нуқта ва ордина ўқига нисбатан симметрик _{ } нуқта ҳам эллипсга қарашли бўлади. Шунинг учун координата ўқлари эллипснинг симметрия ўқлари бўлади. Шу билан бирга _{ } ва _{ } нуқталар координата боши-эллипснинг марказига нисбатан симметрик нуқталардир. Яъни эллипснинг маркази унинг симметрия маркази бўлади.
Эллипснинг ҳар бир нуқтаси учун (2) тенгламага асосан

ёки

бундан

ёки

Бундан кўринадики, бутун эллипс унинг ўқларига параллел

тўғри чизиқлар билан чегараланган тўғри тўртбурчак ичида жойлашади. Бу тўғри тўртбурчак берилган эллипс учун асосий тўғри тўртбурчак дейилади; унинг томонлари

Эллипснинг унинг ўқлари билан кесишган нуқталари  учлари деб айтилади.
Демак, эллипснинг тўртта учи бор. _{ } сонлар эллипснинг ярим ўқлари дейилади.

Эллипс тенгламасидан _{ } ни топамиз. Бундан кўринадики, _{ } абсцисса _{ } дан _{ } гача ўсганда _{ } ордината _{ } дан _{ } гача камаяди, яъни эллипснинг I- чоракдаги қисми _{ } чизиқдан иборат; бутун эллипсни чизиш учун _{ } чизиқни симметрик ўқларига нисбатан акслантириш етарлидир.
Эллипснинг эксцентриситети деб _{ } сонга айтилади. Эллипс учун _{ } формуладан _{ }, шунинг учун



Бу формулалар амалда кенг қўлланилади.
Эллипснинг фокал радиуслари учун энди қуйидаги содда формулаларни ҳосил қиламиз

Агар _{ } бўлса, _{ } ва _{ }; демак, айлананинг эксцентриситети нолга тенг.
Эллипснинг марказидан ўтувчи тўғри чизиқнинг параметрик тенгламаларини

кўринишда оламиз ва _{ } тўғри чизиқнинг эллипс билан кесишган нуқталарини топамиз; бунинг учун (2) ва (4) тенгламаларни биргаликда ечиш керак:

Демак, эллипснинг марказидан ўтувчи ҳар бир _{ } тўғри чизиқ эллипсни икки нуқтада кесади:

Эллипснинг директрисалари деб унинг фокал ўқига перпендикуляр

ва (5)

тўғри чизиқларга айтилади.
Эллипс учун е<1, шунинг учун

яъни эллипснинг директрисалари асосий тўғритўртбурчакнинг ташқарисида жойлашади.

Эллипснинг ихтиёрий _{ } нуқтасидан унинг мос директрисаларигача масофаларни _{ } ва _{ } билан белгилаймиз. У вақтда эллипснинг M нуқтасидан фокусларгача масофаларнинг мос директрисаларгача бўлган масофаларга нисбати ўзгармас бўлиб, эллипснинг эксцентриситетига тенг

Ҳақиқатан,

Эллипснинг параметрик тенгламалари ушбу кўринишда бўлади


бундан

Эллипснинг берилган _{ } нуқтасидаги уринмасининг тенгламаси