Мавзу: Эллиптик егри чизиқ ва унининг графиклари, унга тегишли нуқталарни қўшиш. Режа

2. Иккинчи тартибли чизиқларнинг типлари. Асимптотик йўналиш.

1.Иккинчи тартибли чизиқларнинг типлари

дискриминант бўйича аниқланади.
Агар >0 бўлса, иккинчи тартибли чизиқ эллиптик типга қарашли дейилади; агар <0 бўлса, бу чизиқ гиперболик типга қарашли дейилади; агар =0 бўлса, бу чизиқ параболик типга қарашли дейилади.
Ажралмайдиган чизиқлар эллипс, гипербола ёки параболадан иборат бўлади.
Ажраладиган чизиқлар эса иккита кесишувчи (ҳақиқий ёки мавҳум) тўғри чизиқ, иккита параллел (ҳақиқий ёки мавҳум) ёки иккита устма-уст тушувчи (ҳақиқий) тўғри чизиқдан иборат бўлиши мумкин.
2.Ҳарқандай вектор бирор йўналишни аниқлайди; вектор ҳам шу йўналишни аниқлайди.
Таъриф. Агар векторнинг координаталари
(1)
шартни қаноатлантирса, бу векторнинг йўналиши иккинчи тартибли чизиққа нисбатан асимптотик йўналиш деб айтилади.
Бунга мос равишда чизиқнинг йўналиши асимптотик йўналиш дейилади, агар унинг йўналтирувчи вектори асимптотик йўналишли бўлса.
Бу таъриф фақат берилган вектор ва берилган чизиққа боғлиқ бўлиб, танлаб олинган координат системасига боғлиқ эмас, албатта.
Агар десак, (1) тенгликни ушбу кўринишида ёзишимиз мумкин , (2)
бунда .
(2) тенглама йўналишга нисбатан квадрат тенгламадир, унинг дискриминанти
.
Агар десак,
.
Шундай қилиб, ҳарқандай иккинчи тартибли чизиқ иккита асимптотик йўналишига эга.
Агар бўлса, (2) тенгламанинг илдизлари мавҳум, яъни эллиптик тип иккинчи тартибли чизиқлар ҳақиқий асимптотик йўналишларга эга эмас.
Агар бўлса, (2) тенгламанинг илдизлари ҳақиқий ва ҳар хил
,
бунда , яъни гиперболик тип иккинчи тартибли чизиқлар иккита ҳақиқий ва ҳар хил асимптотик йўналишга эга.
Агар бўлса, (2) тенглама илдизлари ҳақиқий ва тенг, яъни параболик тип иккинчи тартибли чизиқлар битта ҳақиқий асимптотик йўналишга эга:
.
Энди ва коэффициентлардан бири нолга тенг бўлсин. Масалан, агар бўлса, (2) тенглама

кўринишни олади, бундан
.
Бундан кўринадики, икки асимптотик йўналишдан бири (абсцисса ўқига мос) йўналишдан иборат. Агар бўлса, икки асимптотик йўналишдан бири (ордината ўқига мос) йўналишдан иборат бўлади.
Ниҳоят ҳолни қараш зарур; бу ҳолда

бунга кўра иккинчи тартибли чизиқ иккита ҳақиқий ва ҳар хил асимптотик йўналишга эга.
(1) ёки (2) шартлар қуйидаги кўринишни олади
ёки
яъни қаралаётган ҳолда иккинчи тартибли чизиқнинг асимптотик йўналишлари олинган координталар системасида координата ўқларининг йўналишларидан иборат:
ва
Мисол сифатида айланани қараймиз. Бизга маълумни (3 - мавзу) ҳарқандай айлана ихтиёрий координат системасида

тенглама билан берилади.
Айлана учун (2) шарт

кўринишни олади, бундан

яъни текисликда ҳамма айланалар бир хил мавҳум асимптотик йўналишларга эга.
Бу йўналишлар текисликда изотроп йўналишлар деб юритилади. Шундай қилиб, ҳамма айланалар изотроп (асимптотик)
йўналишларга эгадир.
Каноник тенгламаси

билан берилган эллипс учун асимптотик йўналишлар

шарт билан аниқланади, бундан

яъни эллипс, юқорида айтганимиздек, ҳақиқий асимптотик йўналишга эга эмас. Шунинг учун ҳарқандай ҳақиқий тўғри чизиқ эллипсни иккита ҳақиқий ёки мавҳум ҳар хил ёки устма-уст тушувчи нуқталарда кесади. Шу билан бирга ҳарқандай ҳақиқий тўғри чизиққа параллел тўғри чизиқ топиш мумкинки, у эллипсни иккита ҳақиқий ва ҳар хил нуқтада кесади, бунинг берилган тўғри чизиққа параллел ва эллипснинг марказидан (каноник система координата бошидан) ўтган тўғри чизиқни олиш етарлидир. (2-маърузага қаранг).



_{гипербола учун асимптотик йўналишлар}

шарт билан аниқланади, бундан

Бу йўналишлар гипербола асосий тўғритўртбурчаги диагоналлари, яъни

тўғри чизиқларнинг йўналишларидир.

парабола учун асимптотик йўналишлар (2) шартга асосан

шарт билан аниқланади. бу иккита устма-уст тушган йўналиш, уларнинг ҳар бири _{ } йўналишдан иборат (абсцисса ўқи йўналиши), яъни бу парабола ўқининг йўналишидир.