Mavzu: Qaror qabul qilish qoidalari va mezonlari. Bajardi

БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА И ХЕМИНГА
2. (T) - бесконечномерное пространство Гильберта, которое образуют непрерывные комплексные или вещественные функции, заданные на интервале (0,T):
(x,y) = (t) y* (t)dt. || = dt - квадрат нормы - это энергия
сигнала, если под иметь ввиду напряжение (ток) на сопротивлении 1 Ом. Энергию разностного сигнала можно представить следующим выражением:
d2(x, y) = f [x(t) - y(t)] 2dt.
В пространстве Гильберта определяется квадрат расстояния между любой парой сигналов (векторов). Величина (x,y) полностью характеризует различие между сигналами.

2. 
   2n - n-мерное пространство Хэмминга, которое образуют двоичные
   

n-последовательности, широко используемые в системах связи.
Hopma, метрика в этом пространстве:
||x|| = ;
d(x,y) = , где Ө -суммирование по модулю «2».
ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ХЕМИНГА
Задана кодовая комбинация (вектор в пространстве Хэмминга): 1011010. Определить норму.
||x|| = 1 + 0 + 1 + 1 = 0 + 1 = 0 = 4 - норма данного вектора.
Норма вектора в пространстве Хэмминга совпадает с количеством единиц в кодовой комбинации, т.е. с ВЕСОМ КОДОВОЙ КОМБИНАЦИИ.
2. Заданы две кодовые комбинации: 1001011 и 0110010. Определить расстояние (метрику) в пространстве Хэмминга между кодовыми комбинациями.
d(x, y) = | 1001011 0110010 =1111001= 5

Метрика (расстояние) между кодовыми комбинациями равна. Метрика Хэмминга находит широкое применение при декодировании свёрточных кодов по алгоритму Витерби с жёстким решением. Чем больше метрика Хэмминга, тем сильнее различима кодовые комбинации.

Геометрическое представление сигналов
Идеи функционального анализа дали возможность создать теорию сигналов, в основе которой лежит представление сигнала как вектора в некотором бесконечномерном пространстве.
Если имеется некая совокупность сигналов s₁(t), s₂(t) и т. д., имеющих некоторые общие свойства, то их можно объединить в некоторое множество сигналов М = {s₁(t), s₂(t), …}.
Задача разложения сигнала сложной формы на простейшие составляющие сходна с разложением обычного вектора х трехмерного пространства на его составляющие по координатному базису единичных ортогональных векторов i, j, k. Такое представление можно записать как
x = х₁i + х₂ j + x₃k (2.1)
Составляющими вектора х по базису (i, j, k) будут векторы х₁·i, х₂·j, x₃·k. Коэффициенты х₁, х₂, х₃ представляют собой проекции вектора х на координатные оси i, j, k и называются координатами вектора х. Иначе говоря, вектор х в трехмерном пространстве полностью определяется совокупностью его координат х = (х₁, х₂, х₃).

Чтобы перейти к обобщению понятия вектора трехмерного пространства для случая n-мерного пространства, функцию x(t) по аналогии с (2.1) можно представить в виде суммы

X(t) = (2.2)
где ψ_i – элементарные базисные функции.
Множество векторов {ψ_i} называется линейно независимым (базисом), если условие
выполняется лишь тогда, когда все х_i = 0.
Линейно независимые векторы {ψ_i} можно рассматривать как координатные оси пространства.
Метрическим называется линейное пространство, в котором определено расстояние между элементами (векторами) пространства (метрика), т.е. каждой паре элементов, скажем, х и у может быть поставлено в соответствие некоторое вещественное неотрицательное число d(х, у) и способ, в соответствии с которым находится это число.
Среди линейных метрических пространств важное место занимают нормированные пространства.
Для этого вводится новое понятие, соответствующее длине вектора. Пространство сигналов называется нормированным, если каждому вектору s(t) однозначно сопоставлено число || s ||, называемое нормой. Для вещественных аналоговых сигналов в теории сигналов норму сигнала вводят в виде
(2.3)
Для комплексных сигналов норма сигнала представляется
(2.4)
Квадрат нормы называется энергией сигнала E_s
² = (2.5)
Такая энергия сигнала выделяется на резисторе с сопротивлением 1 Ом. Выражение (2.5) представляется очень удобным, так как отпадает необходимость расшифровывать размерность сигнала.