Метод Эйлера

Rkfixed (y, x1, x2, n_points, D).
Rkfixed возвращает матрицу, где первый столбец содержит пункты, в которых решение оценено, а второй - соответствующие значения решения и его первых n-1 производных.
Для решения дифференциальных уравнений первого порядка Rkfixed использует метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
Обозначения: Y - n-мерный вектор первоначальных значений (от x1).x1, x2 - границы интервала, на котором будет решаться дифференциальные уравнение; n_points - число точек вне начальной точки, в которых решение должно быть аппроксимировано найдено. (Это средство управления числом строк (1 + n_points) в матрице, возвращаемой rkfixed).D - n-мерная векторная функция, содержащая первые производные неизвестных функций.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ (РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ)

Одной из широко распространенных задач обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией у(х). Задача регрессии заключается в получении таких параметров этой функции, чтобы функция приближала облако исходных точек с наименьшей среднеквадратичной погрешностью. Чаще всего используется линейная регрессия, при которой функция у(х) имеет вид и описывает отрезок прямой. К линейной регрессии можно свести многие виды нелинейной регрессии при двухпараметрических зависимостях у(х).
Если вид эмпирической формулы выбран, то возникает задача определения наилучших коэффициентов (параметров), входящих в эту формулу.
В общем виде эта задача ставится следующим образом: пусть данная система значений приближённо описывается формулой вида
(4)
где известная функция и неизвестные постоянные, число которых m обычно меньше числа точек , т.е. m < n. Требуется определить эти постоянные.
Если значение ( ) точно связаны зависимостью (4), то параметры могут быть найдены из системы уравнений
(5)
Однако на практике значения ( ) содержат неизбежные ошибки, а число уравнений системы (5) значительно больше числа неизвестных. Поэтому система (5), как правило, является несовместной. Приходится отыскивать наилучшие значения , приближённо удовлетворяющие системе (5), т.е. такие, что невязки (уклонения)

являются возможно малыми по абсолютной величине.
Геометрически задача сводится к проведению кривой вида (4), наиболее тесно примыкающей к данной системе точек.
Наиболее распространёнными являются эмпирические формулы, линейно зависящие от параметров, т.е. формулы вида

В этом случае система (5) линейная и исследование её сравнительно просто. При нелинейной зависимости в (4) от параметров система (5) также нелинейная и нахождение точных или приближённых решений её представляет трудную задачу; обычно такую систему приближённо заменяют линейной.
Рассмотрим три наиболее употребительных метода определения параметров эмпирической формулы: метод выбранных точек; метод средних и метод наименьших квадратов.