Метод Эйлера

2. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Если функция непрерывна на [a, b] и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: где .
Однако во многих случаях первообразная функция не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной. Вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница может быть затруднительным или даже практически невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция часто задается таблично, и тогда понятие первообразной теряет смысл. Аналогичные вопросы возникают и при вычислении кратных интегралов. Поэтому большое значение имеют приближенные и в первую очередь численные методы интегрирования.
Заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы вида

где - выбранные узлы интерполяции, - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы. При отбрасывании остаточного члена R появляется погрешность усечения. В расчете отрезок интегрирования разбивается на n равных частей системой точек
(i=0, 1, …, n), , , _.
Вычисляется подынтегральная функция в полученных узлах
(i=0, 1, …, n).
Квадратурные формулы для равностоящих узлов называются формулами Ньютона-Котеса. Формулы Ньютона-Котеса различаются степенями использованных интерполяционных многочленов. Чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, промежуток интегрирования обычно разбивают на отдельные участки, применяют формулы Ньютона-Котеса с невысокими степенями на каждом участке и потом складывают полученные результаты (что дает так называемые составные формулы). Наиболее простые из формул такого типа приведены ниже.

Формула трапеций (рис. 1):

,
где (i=0, 1, …, n).

Рис.1.

Остаточный член имеет вид



Формула трапеций дает точное значение интеграла, когда подынтегральная функция f(x) линейна, тогда f''(x)=0. Блок-схема алгоритма метода трапеций приведена на рис. 2.

Рис. 2.