Метод Эйлера

Формула Симпсона (формула парабол) (рис. 3):

где .

Рис. 3.

Остаточный член имеет вид

_.
Формула Симпсона является точной для многочленов до третьей степени включительно, так как в этом случае
Заметим, что в формуле Симпсона число узлов обязательно нечетное, т.к. n четное, .
Блок-схема алгоритма метода Симпсона приведена на рис. 4.


Формула Ньютона (правило трех восьмых):



где

Остаточный член имеет вид

Заметим, что в формуле Ньютона число узлов обязательно равно , т.е. .

Рис. 4.

Если функция задана таблично, а ее производные найти затруднительно, то в предположении отсутствия быстро колеблющихся составляющих можно применять приближенные формулы для погрешностей, выраженные через конечные разности:

где под подразумевается арифметическое среднее значение разностей соответствующего порядка.

Система MathCad вычисляет определенные интегралы методом Ромберга. Не описывая его подробно, отметим лишь, что он является вариантом метода трапеций с делением на два интервала интегрирования с итерационным уточнением решения до достижения заданной точности (она определяется значением системной переменной TOL).
Если за заданное число итераций точность не достигнута, используется более точный метод Ромберга с открытыми концами. При нем число интервалов утраивается на каждом шаге интегрирования. Этот метод увеличивает число шагов интегрирования там, где подынтегральная функция меняется более резко (например, если она имеет разрыв).
К достоинствам метода можно отнести то, что он делает все возможное, чтобы вычислить интеграл даже сложной функции. Но для простых функций это ведет к увеличению времени вычислений. При наличии у подынтегральной функции особенностей время вычисления может резко возрастать из-за перехода от одной реализации метода Ромберга к другой. Поэтому нередко бывает оправданным применение достаточно точных формул интегрирования, например формул Ньютона-Котесса с легко предсказуемыми узлами, которые можно выбрать вдали от особых точек подынтегральной функции.
Для вычисления определенных интегралов в Mathcad нажмите & или вставьте знак интегрирования с соответствующей панели.
Функция возвращает определенный интеграл f(x) от а до b, где F – любая скалярная функция, определенная в замкнутом интервале [a, b]; x – аргумент этой скалярной функции. а и b должны быть действительными скалярными величинами, но f(х) может быть комплексной величиной. а и b должны иметь одинаковые размерности, если они есть. может быть функцией любого числа переменных.
Подобно всем численным методам, алгоритм интегрирования Mathcad может иметь трудности с неправильными подынтегральными выражениями. Если подынтегральное выражение имеет особенности, разрывы, или большую и быструю флуктуацию, решение Mathcad может быть неточно.
Чтобы вычислить двойные или кратные интегралы, нажмите & несколько раз.
В следующем примере вычисляется определенный интеграл действительной функции f(x,y) в некоторой плоской области. Вводятся границы области интегрирования, принимаются а < x < b и с(x) для всех x:




Вводится подынтегральная функция, описывающая плотность треугольника:

Тогда его масса вычисляется следующим образом: