Метод математической индукции

§4. Tengsizliklarni isbotlash
4.1-masala. Faraz qilaylik, to‘g‘ri burchakli uchburchakda a, b – katetlar uzunliklari, c – gipotenuza uzunligi. U holda barcha n  2 natural sonlar uchun
(4.1)
o‘rinlidir.
1-qadam. Pifagor teoremasidan a ² + b ² = c ² tenglik hosil qilinadi.
1-qadam isbotlandi.
2-qadam. (4.1) tengsizlik n = k, , da bajariladi deb faraz qilaylik,ya’ni . to‘gri. U holda (4.1) tengsizlik n = k +1 da ham bajariladi:
.
Haqiqatdan:
.
2-qadam isbotlandi.
1-qadam va 2-qadamlardan (4.1) tengsizlikning ixtiyoriy n  2 natural son uchun o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
4.2-masala. Agar bo‘lsa, u holda
(4.2)
ekanligini isbotlang.
1-qadam. n = 1 da quyidagiga ega bo‘lamiz:
(4.2) tengsizlikning chap qismi:
(4.2) tengsizlikning o‘ng qismi: ga teng. 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. Faraz qilaylik, (4.2) tengsizlik n = k da bajarilsin: . U holda tengsizlik n = k + 1 uchun o‘rinli bo‘ladi:
.
Haqiqatdan, bo‘lganda

bajariladi. 2-qadam isbotlandi.
1- va 2- qadamlardan (4.2) tengsizlik ixtiyoriy natural son uchun bajariladi.
1-eslatma. Ma’lumki, ketma-ketlik limitga ega bo‘lib, uning limiti e soni deyiladi:
.

Ketma-ketlik xossasidan:

. (4.2.1) ekanligi ma’lum bo‘ladi.
ketma-ketlikning monoton o‘sishini, ketma-ketlikning esa monoton kamayishini isbotlang.
Isboti. Agar bo'lsa, bu tengsizlikka teng kuchli, shuning uchun ketma-ketlik monoton o‘sadi. Quyidagi tengsizlikni isbotlash lozim:
. (4.2.2)
Agar , u holda ketma-ketlik monoton kamayadi. Quyidagi tengsizlikni isbotlang:
(4.2.3)
(4.2.2) tengsizlikni isbotlaymiz_:


. .

(4.2.3) tengsizlik (4.2.2) tengsizlikka o‘xshash isbotlanadi:

. .


ketma-ketlik qa’tiiy monoton o‘sadi, ketma-ketlik esa qa’tiiy monoton kamayadi, (4.2.1) tengsizlikni hisobga olgan holda quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz:
. (4.2.4)