Метод математической индукции

Isboti.
2-qadam isbotlandi. Matematik induksiya prinsipiga ko‘ra (4.8.2) tengsizlik ixtiyoriy n natural son uchun bajariladi.
4.9-masala. Quyidagi tengsizlikni isbotlang:
(4.9)
1-qadam. n = 6 da: ega bo‘lamiz. 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. tengsizlikning bajarilishi berilgan. Quyidagi tengsizlikning bajarilishini isbotlash lozim:
.
Isboti. da quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
2-qadam isbotlandi. . Matematik induksiya prinsipiga ko‘ra (4.2) tengsizlik ixtiyoriy natural son uchun bajariladi.
4.10-masala. Ixtiyoriy n natural son uchun
(4.10)
tengsizlikni isbotlang.
1-qadam. n = 1 da : . 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. n = k da tengsizlikning bajarilishi berilgan. tengsizlikning bajarilishini isbotlash lozim.
Isboti.
.
2-qadam isbotlandi.
Matematik induksiya prinsipiga ko‘ra (4.10) tengsizlik ixtiyoriy n natural son uchun bajariladi.
4.11-masala. Ixtiyoriy n natural sonda
(4.1.1)
tengsizlikni isbotlash lozim.

orqali belgilaymiz.

1-qadam. n = 1 da: ga ega bo‘lamiz. 1-qadam isbotlandi.
2-qadam. n = k da quyidagi tengsizlikning bajarilishi berilgan:
.
Quidagi tengsizlikning bajarilishini isbotlang
.
Isboti.

.
“ > 0 ” tengsizlik quyidagicha kelib chiqadi:


.
2-qadam isbotlandi.
Matematik induksiya prinsipiga ko‘ra (4.11) tengsizlik ixtiyoriy n natural son uchun bajariladi.

§5. Gipoteza va uning isbotlanishi

Oldingi masalalarda kim tomondandir aytilgan doimo to‘g‘ri deb hisoblangan gipoteza tekshirilgan. Lekin ko‘p masalalarda ushbu to‘g‘ri gipotezani aytish qiyin. Gipotezani qurish lozim. Buning uchun n ketma – ketlikning 1, 2, 3, … qiymatlari toki etarli material to‘plangunga qadar davom etadi. Qo‘yilgan masalani yechish insonning kuzatuvchanligiga bog‘liq va uning qobiliyatiga ko‘ra hususiy natijadan umumiy natija topiladi, ya’ni ko‘p yoki oz miqdorda ishonchli gipotezani qurish lozim. Shundan so‘ng ushbu gipotezani tekshirishda matematik induksiya metodidan foydalaniladi. Matematik induksiya metodi gipotezada uchraydigan umumiy qonunlarni izlash imkoniyatini yaratadi va yolg‘onni olib tashlaydi, rostni tasdiqlaydi.
5.1-masala. Faraz qilaylik, bo‘lsin. ni o‘rgangan holda , gipotezani aytamiz, ya’ni
. (5.1)
Ushbu gipotezani tekshiramiz.