Методика обучения действительным числам. План Действительные числа Модуль и свойства модуля

Аксиома инверсии для сложения: «Для любого действительного числа a существует уникальное число (-a), такое, что a+(-a)= -a+a=0. Число (-a) называется противоположным числу a».

Можно сказать, что вычитание — это действие, обратное сложению, а сложение — это действие, обратное вычитанию.
Сложение и вычитание являются операциями, обратными друг другу.

• 
  Аксиома инверсии для произведения: «Для любого ненулевого числа a существует уникальное действительное число (1/_a), такое, что a×(1/_a)=(1/_a)×a=1. Число (1/_a) называется обратным числу a».
  

Умножение и деление являются операциями, обратными друг другу.
Осторожно: «дырка»! Произведение числа ноль и любого действительного числа равно числу ноль: 0×a=a×0=0.

• 
  Для любых действительных чисел a и b истинным может быть только одно соотношение: a>b, a=b, a

Модуль и свойства модуля
Определение. Модуль действительного числа a записывается так: |a|. А определяется так: |a|={a, если a ≥ 0; -a, если a<0}.
Модуль положительного действительного числа равен самому этому числу, в то время как модуль отрицательного действительного числа равен этому числу, взятому с обратным знаком.
Примеры: |5|=5; |-5|=5; |0|=0.
Геометрическая интерпретация: модуль действительного числа — это расстояние между соответствующей точкой числовой прямой и нулевой точкой, независимо от направления.
Полезное наблюдение: для любых чисел a и b расстояние между a и b на числовой прямой есть модуль разности этих чисел |a-b|=|b-a|.
Пример: |-5|=5, так как число -5 располагается на числовой прямой на таком же расстоянии от числа 0, что и число 5.

Свойства:

1. 
   |a| ≥ 0.
   
2. 
   |a|=0 тогда и только тогда, когда a=0.
   
3. 
   |a×b|=|a|×|b|.
   
4. 
   |a/_b|=|a|/_|b|, если b ≠ 0.
   
5. 
   |−a|=a.
   
6. 
   |a−b|=|b-a|.
   
7. 
   |a|²=a².