«Методика обучения решению показательным уравнениям и неравенствам в школьном курсе математики»

Задача 5.14. Решить уравнение 
. 
Решение данного уравнения: 
(
)
(
)
. 
Задача 5.15. Решить уравнение 
(
)
. 
Алгоритм решения данного уравнения выглядит следующим образом: 
(
)
(
)
(
)
(
)
. 
Еще один метод решения показательных уравнений в основе своей 
использует свойство монотонности показательной функции. Нижеследующие 
примеры раскрывают особенности его использования. 
Задача 5.16. Решить уравнение 
. 
Для решения этого уравнения необходимо заметить, что при 
уравнение 
превращается в тождество. Поэтому 
является корнем уравнения. Далее 
уравнение переписывается в виде: 
(
)
(
)
. Поскольку при 
основании, являющемся меньше единицы, показательная функция монотонно 
убывает на 
, то при левая часть последнего уравнения больше 
единицы, другими словами: 
(
)
(
)
. При значение левой 
части будет меньше единицы, то есть: 
(
)
(
)
. Следовательно, 
другие корни, кроме 
, у равнения
отсутствуют. 
Задача 5.17. Решить уравнение 
. 

---

43 
Данное уравнение, очевидно, является тождеством при 
. Далее 
необходимо переписать уравнение в виде: 
(
)
(
)
. При основании, 
которое меньше единицы, показательная функция является убывающей на 
. 
Следовательно, при 
: (
)
(
)
, а при : (
)
(
)
. 
Значит, другие корни, помимо 
, у уравнения
отсутствуют. 
Большое распространение получил графический способ решения 
показательных уравнений. Особенно целесообразным является его 
использование к уравнениям вида: 
( )
( ). Для графического решения 
уравнения подобного вида необходимо осуществить построение графиков 
функций 
( )
и 
( ) в единой системе координат и найти точки 
пересечения этих графиков (если они существуют). Именно абсциссы этих 
точек и будут являться корнями исходного уравнения. Все вышесказанное 
иллюстрируется приведенными ниже примерами.