Metrologiya asoslari

matematik kutilishidir. 
Matematik kutilishni tasodifiy jarayonlar nazariyasi nuqtai nazaridan ko‟rib 
chiqamiz.
6.1 - rasm. X(
) tasodifiy jarayonning matematik kutilishi. 

---

30 
X(
) tasodifiy jarayonning matematik kutilishi shunday yagona o‟rtacha 
funksiyadan iboratki, uning atrofida ma‟lum bir chetlanish bilan tasodifiy jarayon 
joylashadi (6.1. rasm). Shuni ta‟qidlab o‟tamizki, X(
) tasodifiy jarayonni o‟rtacha 
qiymatini xarakterlovchi bu funksiya endi tasodifiy emas, balki ma‟lum qiymatga 
ega bo‟ladi. Uni
(t) deb belgilaymiz. Shunday qilib, X(
) tasodifiy jarayonning 
matematik kutilishi deb shunday tasodifiy bo‟lmagan
(t) funksiyaga aytiladiki, 
bunda 
argumentning istalgan qiymatlarida bu funksiya tasodifiy jarayon 
kesimining matematik kutilishiga teng bo‟ladi, ya‟ni

(t)
=M[X( )]. (6.1) 
Teorema: Ikkita bir biriga bog‟liq bo‟lmagan tasodifiy kattaliklar 
ko‟paytmasining 
matematik 
kutilishi 
ularning 
matematik 
kutilishlari 
ko‟paytmasiga teng: 
M
(XY)
=
M
(X).
M
(Y). (6.2) 
Isboti. X va Y tasodifiy kattaliklar o‟zining quyidagi taqsimlanish qonuni 
bilan berilgan bo‟lsin:
X
Y
 
 
p
g g
₁g₂
 
XY tasodifiy kattaliklar qabul qila oladigan barcha qiymatlarini tuzamiz. 
Buning uchun X ning har bir qiymatiga Y ni qiymatini ko‟paytiramiz va natijada 
x
₁
y
₁
, x
₂
y
₁
, x
₁
y
₂
, x
₂
y
₂
hosil qilamiz. XY ko‟paytma uchun tasodifiy kattaliklarning 
taqsimlanish qonunini tuzamiz:
XY x
₁
y
₁
, x
₂
y
₁
, x
₁
y
₂
, x
₂
y
₂ 
 
p p
₁
g
₁
p
₂
g
₁
p
₁
g
₂
p
₂
g
₂
. 
Matematik kutilish tasodifiy kattalik qiymatlarini ularning extimolliklariga 
ko‟paytmasi yig‟indisiga teng bo‟ladi: 
M(XY) = x
1
y
1
∙
 
p
1
g
1 
+ x
2 
y
1
∙ p
2
g
1 
+ x
1
y
2
· p
1
g
2 
+ x
2
y
2
· p
2
g
2
= y
1
g
1 
(x
1
p
1
+ x
2
p
2
) + 
+y
2
g
2 
(x
1
p
1
+ x
2
p
2
) = (x
1
p
1
+ x
2
p
2
)( y
1
g
1
+ y
2
g
2
) = M(X)∙M(Y). 
Masala. X va Y tasodifiy kattaliklar quyidagi taksimot qonuniga ega bo‟lsa XY 
kattalikni matematik kutilishi aniqlansin. 

---

31 
X 5 2 4

 
Y 5 2

  
p 0,6 0,1 0,3 p 0,8 0,2
Yechilishi. Matematik kutilishni topamiz: 
M(X)=5·0,6 + 2·0,1 + 4·0,3=4,4 ; M(Y) =7·0,8 + 9·0,2=7,4 . 
X va Y tasodifiy kattaliklar o‟zaro bog‟lanmagan, shuning uchun izlanayotgan 
matematik kutilish
M(XY)=M(X)∙M(Y)=4,4·7,4=32,56. 
O‟lchashlarning dispersiyasi va uning matematik ifodasini hisoblash uchun 
quyidagi teoremani isbotlashga xarakat qilamiz. Dastlab masalani diskret X kattalik 
uchun isbotlaymiz. 
Teorema. Dispersiya tasodifiy kattalik kvadrati matematik kutilishi bilan uning 
matematik kutilishi kvadrati orasidagi ayirmani ko‟rsatadi: 
D(X) = M(X 
2
) – [M(X)]
2
. (6.3) 
Isboti. Matematik kutilish M(X) o‟zgarmas kattalik, o‟z navbatida 2 M(X) va 
M
2
(X) kattaliklar xam o‟zgarmas kattaliklardir. Bularni xisobga olgan xolda va 
matematik kutilishning asosiy xossalaridan foydalanib dispersiya uchun quyidagi 
matematik ifodani olamiz: 
D(X) = M [X – M(X)]
2 
= [X 
2 
– 2XM(X) + M 
2
(X)] = M(X 
2
) – 2XM(X) + M 
2
(X) = 
M(X 
2
) – 2M(X)M(X) + M
2
(X) = M(X 
2
) – 2M 
2
(X) + M 
2
(X) = M(X 
2
) – M 
2
(X) . 
Demak,
D(X) = M(X 
2
) – [M(X)]
2
. (6.4) 
Masala. Quyidagi taqsimlanish qonuni bilan berilgan X kattalikning dispersiyasi 
aniqlansin:
X 2 3 5 
p 0,1 0,6 0,3 
Yechilishi. M(X) ni matematik kutilishini topamiz: 

---

32 
M(X)=2· 0,1+3· 0,6 + 5· 0,3=3,5. 
X 
2 
tasodifiy kattalikning taqsimlanish qonunini yozamiz: 
X 
2
4 9 25 
p 0,1 0,6 0,3 
M(X 
2
)matematik kutilishini topamiz: 
M(X 
2
)=4· 0,1+9· 0,6 + 25· 0,3=13,5 . 
Izlanayotgan tasodifiy kattalikning dispersiyasi 
D(X) = M(X 
2
) – [M(X)]
2
= 13,5 –(3,5)
2
=1,05. 
Dispersiyaning bitta xossasini isboti bilan ko‟rsatamiz. 
Ikki bir biriga bog‟lik bo‟lmagan tasodifiy kattaliklar yig‟indisining 
dispersiyasi har bir tasodifiy kattalik dispersiyalarining yig‟indisiga teng: 
D(X+Y) =D(X) +D(Y). (6.5) 
Isboti. Dispersiyani hisoblash formulasiga asosan 
D(X+Y) =[M(X+Y)
2
] –[M(X+Y)]
2
. 
Qavslarni ochib matematik kutilishning xossalaridan foydalangan holda 
dispersiyaning quyidagi ifodasini hosil qilamiz: 
D(X+Y)=
, 
- , ( ) ( )-
( 
) ( ) ( )
( 
)
( ) ( ) ( )
( ) * ( 
) , ( )-
+
* ( 
) , ( )-
+ ( ) ( )  
Demak, D(X+Y)=D(X)+D(Y). 
Diskret kattalikni o’rtacha kvadratik og’ishi. Diskret tasodifiy kattalikning 
o‟rtacha qiymati atrofida uning qiymatlarini sochilish darajasini aniqlash uchun 
faqat dispersiya emas, balki boshqa xarakteristikalar ham qo‟llaniladi. Jumladan, 
ularga kattalikning o‟rtacha kvadratik og‟ishi ham kiradi. O‟lchashlarning 

---

33 
xatoliklarini baholashda tasodifiy jarayonni bu sonli xarakteristikasini 
o‟lchashlarning o‟rtacha kvadratik xatoligi deb ataladi. 
Tasodifiy kattalikning o‟rtacha kvadratik og‟ishi shu kattalikning dispersiya 
qiymatidan chiqarilgan kvadrat ildiziga teng: 
( ) √ ( ) . (6.6) 
Kattalikning o‟rtacha kvadratik og‟ishi dispersiya qiymatidan chiqarilgan 
kvadrat ildizga teng bo‟lganligi uchun uning o‟lchami tasodifiy kattalik o‟lchami 
bilan bir hil bo‟ladi. Masalan, agar tasodifiy kattalik metrlarda o‟lchansa 
( ) ham 
metrlarda o‟lchanadi, biroq dispersiya kvadrat metrlarda o‟lchanadi. 
Masala.Tasodifiy kattalik quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan:
X 2 
3 
10 
P 0,1 0,4 0,5 
Kattalikning o‟rtacha kvadratik og‟ishini toping. 
Yechilishi.Kattalikning matematik kutilishini topamiz: 
M(X) = 2
0,1 3 0,4 10 0,5 6,4. 
kattalikning matematik kutilishini topamiz :
M(X) = 4
0,1 9 0,4 100 0,5 54. 
Kattalikning dispersiyasini topamiz: 
D(X) = M(
) 
 , ( )- 
= 54 
–
 =13,04. 
Kattalikning izlanayotgan o‟rtacha kvadratik og‟ishi 
σ( ) √ ( ) √ .