Муаллифлар: Абдурахманов. П., физика-математика фанлари доктори, профессор, Эгамов У., физика-математика фанлари

D = ss₀ E , (20.1)


яъни


D =


ss_r


q


1


r =


^q


(20.2)


бу ерда SS0 - вакуум билан диэлектрикнинг электр с ингдирувчанликларидан кутилганимиз учун, электр индукция вектори D нинг узлуксизлиги таъминланади. Шу сабабли, электр куч чизиклари


60




бир мухитдан иккинчи мухитга утишда узлуксизлиги таъминланганлиги учун ( 20.1 ) - ифодани купинчалик электр кучиши деб аталади.
Скаляр куринишда
_п ¹ q
^п—ъ 7 , ⁽²⁰³⁾


га эга буламиз. Шундай килиб, ихтиёрий мухитда нуктавий заряд хосил килган майдоннинг бирор нуктасидаги индукция шу зарядга тугри пропорционал, масофа квадратига тескари пропорционалдир.
Электр индукция вектори D микдор жихатдан бир бирлик юзадан тик равишда утаётган индукция чизикларини, яъни унинг сирт зичлигини ифодалайди (24-расм).






24 - расм. Электр индукция вектори
Бир жинсли электр майдонидаги ихтиёрий S юза оркали тик равишда утаётган индукция чизиклари индукция оцимлари деб аталади.
N — D_nS — DS_± — DS cosa, (20.4)
Агар электр майдони бир жинсли булмаса
D Ф const


61

у холда, dS элементар юза сохасидаги майдонни бир жинсли деб хисоблаш мумкин. У вактда (20.4) ифода куйидаги дифференциал куринишга эга булади:

dN = D_ndS = DdS • cos a , (20.5)
Ихтиёрий S сиртдан утувчи электр индукция окими N чексиз куп шундай элементар электр индукция окимлари dN нинг йигиндиси билан ифодаланади:
N = | DndS = | DdS _± . (20.6)
SS

20. 
    §. Остроградский - Г аусс теоремаси
    

Фараз килайлик, q заряд ихтиёрий ёпик S сирт ичида жойлашган булсин (25-расм).






25- расм. Ёпиц сиртнинг фазовий бурчагига тугри келувчи электр
индукция вектори


Электр индукция векторининг ифодасига кура:
D = ± ^q r 4п r
бу ерда D - вектор заряд жойлашган нуктадан чиккан булиб, r -
радиус - вектор буйлаб йуналади. Шунинг учун n нормаль билан D вектор орасидаги фазовий бурчак dS ва dS± сиртлари орасидаги бурчакка тенгдир. У вактда элементар dS сиртдан чикаётган электр индукция окими куйидагига тенг булади:


62

^dN=•^ds^ , (211)

dS _±
бу ерда ^ = ^dw - элементар фазовий бурчакка тенг булгани учун r
dN =— q • dw (212)
47
эга буламиз.
Агар бутун шар сирти буйича интегралласак


N = f-^dw = x 47 = q
J ZLtt А ГГ


_s 47 47 ^{, (213)}
Остроградский - Гаусс теоремасининг математик ифодасига эга буламиз. Ёпик сиртдан чикаётган электр индукция окими шу сирт ичидаги заряд микдорига тенг.
Ёпик сирт ичида
q^ q 2^{, ,} q_n
зарядлар булса, электр индукция вектори куйидагига тенг булади:


D = D + D2 + +Dn = £ D,.
i=1


Электр индукция окими эса,
n
^N = S ^qi , (21.4)
i =1
яъни ёпик сирт ичидаги зарядларнинг арифметик йигиндисига тенг булади. Хдкикатда, куч чизикларининг окими сирт радиусига боглик эмас, иккита сирт орасидаги фазода, зарядлар йук бушликда узлуксиздир, Шу сабабли, зарядни ураб олган ихтиёрий сиртдан утадиган электр индукция окими (21.3) ифода билан аникланади ва у Остроградский - Гаусс теоремасининг интеграл куриниши деб хисобланади. ^уйида бу теореманинг дифференциал куринишини келтириб чикарамиз.


63

26 - расмда р хджмий заряд зичлиги билан зарядланган dV элементар хджм келтирилган.

Z
26 - расм. р х;ажмий заряд зичлиги билан зарядланган элементар
%,ажм
dVx,ажм элементи заряди dq = pdV га тенг. Бошка тарафдан, р фазовий координаталарнинг узлуксиз функцияси хисобланади.
Элементар dV хджмнинг 1 - томонидан чиккан ташки нормаль x укининг манфий йуналишига мос келади. Шу сабабли, шу сирт буйича вектор окими - E_x(x)dydz га тенг булади. Параллелипипеднинг 2 - сиртидан чиккан ташки нормаль х укининг мусбат йуналишига мос келади ва шу сирт буйича оким + Ex(x + dx)dydz га тенг булади. Иккала оким йигиндиси






dx






X


[E_x(x + dx) - E_x(x)dydz]






га тенг булади.
Параллелипипеднинг бутун сирти буйича тула оким


dN = divEdV,


(21.6)


га тенг булади, бу ерда g_x ^ g_z
Остроградский - Г аусс теоремасига асосан, шу оким


„ дЕ_х dE_y dE_z divE = —- + + ^z


dN = q = pdV


64




га тенгдир. (21.5) ва (21.6) ифодаларни таккосласак куйидагига эга буламиз:
divE =р, (21.7)


Бу ифода Остроградский - Гаусс теоремасининг дифференциал куринишидир. Электр майдонининг дивергенцияси электр оцимининг фазовий координаталар йуналишлари буйича градиентлар йигиндисига ёки зарядланган уажмнинг уажмий заряд зичлигига тенг булади.
Остроградский - Гаусс теоремасини амалда тадбик этиш учун, куйидаги тушунчаларни киритамиз:

• 
  Зарядларнинг хажмий зичлиги деб, жисмнинг бир бирлик хажмига мос келган зарядга микдор жихатдан тенг булган физик
  

катталикка айтилади, яъни Р = q , (21.8)
бу ерда q - жисмнинг V- хажмига мос келган заряд микдори.

• 
  Заряднинг сирт зичлиги деб, жисмнинг бир бирлик сирт юзасига мос келган зарядга микдор жихатдан тенг физик катталикка айтилади,
  

бу ерда q - жисмнинг S юзасига мос келган заряд микдори.

• 
  Заряднинг чизикли зичлиги деб, жисмнинг узунлик бирлигига мос келган зарядга микдор жихатдан тенг физик катталикка айтилади,
  

бу ерда q - жисмнинг £ узунлигига мос келган заряд микдори. куйидаги мисолларни куриб чикамиз.

1. 
   мисол.Бир текис зарядланган чексиз текислик майдони.
   

Фараз килайлик, бир текис зарядланган чексиз текислик g - сирт зичлигига эга булсин (27 - расм).


яъни






(21.9)


яъни






(21.10)


£ ’






D₂

27. 
    расм. Бир текис зарядланган чексиз текислик
    

65




Индукция чизиклари текисликка перпендикуляр булган ва ташкарига йуналган D₁ ва D₂ векторлардан иборат булади. Бу чизиклар S текисликда бошланиб иккала томонга чексиз давом этади. Ёпик сирт сифатида хар иккала томонидан dS асослари билан чегараланган тугри цилиндр ажратиб оламиз. S₁ ва S₂ сирт асослари А ва В нукталардаги сиртларга жойлашган. Цилиндр ичидаги заряд qdS дан иборат.
Цилиндр ясовчилари индукция чизикларига параллел булгани учун, цилиндрнинг ён сиртидан чикувчи электр индукция окими нолга тенг. Зарядланган текислик майдонининг А ва В нукталаридаги индукция вектори D₁ ва D₂ микдор жихатдан узаро тенг ва карама- карши йуналган булади:
^D1 = ^{_ D} 2
Цилиндрнинг асосларидан чикаётган индукция окимлари куйидагига тенг:
N₁ = D₁dS₁ , N₂ = D₂ dS₂
Умумий оким эса,
N = D₁S, + D₂ S₂ = DS + DS = 2DS , (21.11)
Остроградский - Гаусс теоремасига асосан ёпик сиртдан чикаётган электр индукция оцими N, шу ёпик сирт ичидаги заряд q = —S га тенгдир:
^N = f^DdS = q = ^uS , (21.12)
S