Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

Натижа. Ушбу

функция бутун функция бўлиб

тенгламани қаноатлантиради.

3-§. Туб сон даражаси модули бўйича Дирихленинг характеристик функцияси ва унинг хоссалари.

Берилган бутун сонлар кетма-кетлигидан

арифметик прогрессияга тегишли қисмий кетма-кетликни ажратиш имконини берувчи мультипликатив функциянинг мавжуд эканлиги бу ерда ҳам туб сонларнинг натурал сонлар қаторида тақсимланишини ўрганишда фойдаланилган усуллардан фойдаланиш имконини беради. Бундай хоссага эга бўлган функция Л.Дирихле томонидан киритилган ва характерлар деб аталувчи функциясидир. Бундан кейин биз характерлар деганда Дирихле характерларини тушунамиз.

Биз аввало, модули бўйича характерларни киритиб, уларнинг содда хоссаларини ўрганамиз. Кейин эса аниқланган характерлардан фойдаланиб ихтиёрий k модули бўйича характерларни киритамиз.

Фараз қилайлик, –туб сон, – бутун сон бўлсин. Бизга маълумки, бундай k модули бўйича бошланғич илдизлар мавжуд. уларнинг энг кичиги бўлсин. билан шартни қаноатлантирувчи n сонининг k модули бўйича асосга кўра индексини белгилаймиз, яъни сони таққосламадан аниқланади.

Дирихле характери – бу ҳақиқий ва комплекс сонлар майдонида аниқланган қуйидаги хоссаларга эга бўлган исталган функция:

1. шундай бутун мусбат k сони мавжудки исталган n учун ўринли

2. Агар n ва k ўзаро туб бўлмаса, у ҳолда ; агар n ва k ўзаро туб бўлса, у ҳолда ўринли

3. Исталган бутун m ва n учун .

Бу таърифдан баъзи бир қуйидаги хоссаларни келтириш мумкин:

4. 3 га кўра ва бўлганлигидан 2-хоссадан келиб чиқади ва демак

3) ва 4) хоссалардан кўрамизки исталган Дирихле характери тўла мултипликатив характер бўларэкан.1-хоссадан характер даври k га тенг даврий функция деб айта оламиз. 5. Агар бўлса, ,бўлади ва шунинг учун характерларни k модул бўйича характер деб айта оламиз.

Агар ,бўлса Эйлер теоремасига кўра бўлиб, 5) ва 4) хоссаларга кўра , 3-хоссага кўра эса ўринли бўлади.

6. билан ўзаро туб бўлган барча a лар учун характер бирнинг -комплекс илдизига тенг бўлса у ҳолда қандайдир бутун сон учун ўринли.

Даври бирга тенг ягона характер тривиал характер деб аталади. Эслатиб ўтамизки тривиал характердан фарқли исталган характер 0 нуқтада нолга тенг,тривиал характер барча бутун сонларда 1 га тенг.

билан ўзаро туб бўлган қийматларида 1 га тенг қиймат қабул қилувчи характер бош характер деб аталади ва уни белгиланади.
Бош характер модул бўйича характерлар группасида бирлик элемент ролини ўйнайди.Энди умумий таърифга ўтамиз.

1-таъриф. ( – туб сон, – бутун сон) модули бўйича характер деб аниқланиш соҳаси бутун сонлардан иборат

тенглик билан аниқланувчи функцияга айтилади. Бунда m –бутун сон,

Эйлер функцияси.

Таърифга кўра характер параметрга боғлиқ, бўйича даврий бўлиб даври га тенг, яъни умуман айтганда модули бўйича тa характер мавжуд бўлиб уларни деб олиб ҳосил қилиш мумкин. Энди, Фараз қилайлик – бутун сон бўлсин. Бу ҳолда маълумки, ҳар қандай тоқ сони учун модули бўйича

индекслар системаси мавжуд, яъни

таққосламани қаноатлантирувчи сонлари мавжуд ва улар мос равишда ва сонларига каррали бўлган сонларгача аниқлик билан аниқланади.