Мундарижа. 1-боб. Арифметик прогрессиядаги туб сонлар

1-натижа. Агар ҳақиқий сон бўлиб

бўлса, у ҳолда

бўлади.

2-натижа. Агар бўлса, у ҳолда

бўлади.

Энди биз нинг функционал тенгламасини исботлашимиз мумкин.

1-теорема. (Дзета функциянинг функционал тенгламаси). Қуйидаги тенглик ўринли



Исботи. нинг интеграл кўринишидаги ифодасига кўра, , бўлганда

бўлади. Бундан ихтиёрий натурал сони учун

яъни

Демак,

(4)

Бу ерда йиғиш ва интеграллаш тартибини ўзгартириш мумкин, чунки да

.

ва бўлса, у ҳолда

Энди агар

деб белгилаб олсак, 2-натижага кўра

бўлади. Шунинг учун ҳам (4) ўнг томонидаги интегрални қуйидагича ёзиш мумкин:

(5)

да бўлгани учун (5) дан (4) унинг ўнг томонининг бўлганда аналитик функцияни ифодалаши келиб чиқади. Шунингдек у ни билан алмаштирсак ўзгармайди, яъни