Mundarija kirish aniq integrallarni taqribiy hisoblash. Eng sodda interpolyatsion kvadratur formula to‘G’ri to‘rtburchaklar formulasi trapetsiyalar formulasi

TO‘G’RI TO‘RTBURCHAKLAR FORMULASI

Agar kesmani n ta bo‘laklarga bo‘lish natijasida hosil qilingan oraliqqa mos keluvchi integralni olsak, u egri chiziqli trapetsiyaning oraliqqa mos keluvchi i-bo‘lakchasining yuzidan iborat ekanligi va uning taqribiy qiymati sifatida

qiymatni qabul qilish mumkinligi ma’lum. Bu yerda h_i=x_i-x_i-1 , kesmadan olingan ixtiyoriy nuqta. Qilingan bunday mulohaza asosida (7.2) dan

(7.3)
integralni taqribiy hisoblash formulasiga ega bo‘lamiz. Bu integralni taqribiy hisoblashda to‘g’ri to‘rtburchaklar usulidan foydalanamiz.

7.2-rasm

Agar deb olinsa bo‘lib, (7.3) dan

(7.3)
chap to‘g’ri to‘rtburchaklar, agar deb olinsa bo‘lib, (7.3) dan

(7.3)
o‘ng to‘g’ri to‘rtburchaklar formulalariga ega bo‘lamiz, bu yerda y_i=f(x_i),(i =0,1,2,…,n).
Agar kesmani n ta teng bo‘laklarga bo‘lsak qadamlar bir xil bo‘lib, (7.3) va (7.3) lardan

ko‘rinishdagi to‘g’ri to‘rtburchaklar formulalariga ega bo‘lamiz, h integrallash qadami deb yuritiladi.

a) To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi uchun xatolik quyidagicha:

TRAPETSIYALAR FORMULASI

Bu formulani olish uchun kesmani h=(b-a)/n qadam bilan n ta bo‘laklarga bo‘lish natijasida hosil qilingan egri chiziqli trapetsiya har bir bo‘lakchasining yuzini, 3-rasmdagidek, trapetsiyalar yuzi bilan taqribiy almashtiriladi.

3-rasm

Olingan taqribiy qiymatlarni jamlash natijasida

(7.4)taqribiy formulani olamiz.

Bu trapetsiyalar formulasidir.
Формуланинг хатолиги қуйидагича:

SIMPSON FORMULASI

Parabolalar (Simpson) formulasi bilan aniq integralni hisoblashni o‘rganamiz.

[a,b] kesmani h=(b-a)/2n qadam bilan 2n ta juft bo‘laklarga ajratamiz. Bo‘linish nuqtalari
x₁, x₂, x₃,…, x_2n-1

Bo‘lganda bu nuqtalarda integral ostidagi funktsiyaning mos qiymatlarini topamiz::

Integral ostidagi f(x) funktsiyani parabola funkiyasi bilan almashtirishda Nyutonning interpolyatsiya formulasi asosida nuqtalarga qurilgan parabolaning quyidagi interpolyatsiya ko‘phadidan foydalanamiz:

bu yerda , ekanligdan interpolyatsiya ko‘phadi quyidagicha yozamimz:

Bu holda kesmada f(x) interpolyatsiya ko‘phadini integrallaymiz:
(*)
bu yerda lar x ga bog’liq emas. Integralni undagi qo‘shiluvchilar integrallarini alohida integrallash bilan topamiz:
1)
2) ikkinchi va uchinchi qo‘shiluvchilarni integrallashda quyidagicha almashtirish qilamiz:
dan
Bu holda
,

Demak (*) integralning qiymati

Shuningdek dagi integrallarni topamiz:

. . . . .

Bu integrallarni qo‘shish bilan [a, b] kesmadagi integralni topamiz:

taqribiy formulaga ega bo‘lamiz, bu Simpson formulasi deb yuritiladi.

Teorema. Agar f(x) funktsiyasining kesmada yetarlicha (masalan, Simpson formulasi uchun to‘rtinchi) tartibli chegaralangan hosilasi mavjud bo‘lsa, taqribiy integrallash formulalari xatoliklarining bahosi uchun quyidagi o‘rinlidir: