O ’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi Samarqand davlat universiteti

Мустақил ўрганиш учун саволлар:
1. Кузатиш ва тажриба ўқитишда қўлланилишига мисоллар келтиринг.
3. Таққослаш ва аналогиянинг математика ўқитишда қўлланилишига мисоллар айтинг.
4. Анализ ва синтез усулларининг математика ўқитишда фойдаланилиши ни гапириб беринг.
5. Математик қиодаларни усулаштиришга мисоллар тузинг.
6.Махсуслаштириш ва конкретлаштириш хусусиятлари ҳақида нималарни биласиз?
7.Индукция ва унинг хоссалари ҳақида нималарни биласиз?
8.Дедукция ва унинг ўқитишда қўлланилиш хусусиятлари нималардан иборат?


3-МАШҒУЛОТ. MATEMATIKA O‘QITISHDA TAFAKKUR USLUBLARI VA ULARNI SHAKLLANTIRISH
Режа
1.Тафаккурнинг қисқача тавсифи.
2. Математик тушунчалар ва уларни шакллантириш.
3. Ҳукмлар ва уларнинг турлари.
4. Математик тасдиқлар ва исботлаш усулларига ўргатиш.
5. Математика ўқитишда индукция ва дедукция.
Таянч иборалар: тафаккур, математик тушунча, ҳукм ва тасдиқлар, тушунча ҳажми ва мазмуни, шакллантириш босқичлари, аксиома, теорема, постулат, индукция ва математик индукция принципи, дедукция.
Машғулотнинг мазмуни
1. Математиканинг ривожи инсон тафаккури таъсирида амалга ошади. Шу сабабдан ҳам математикани ўрганиш ўрганувчидан тафаккурни ривожлантиришни талаб этади. Бунда математик тафаккурнинг ўзига хос усул ва шаклларидан фойдаланишга тўғри келади. Бу ҳақда айниқса француз математиги Анри Пуанкаре ҳамда Герман Вейлнинг математик тафаккур ҳақидаги фикрлари, уни ёшликдан тарбиялаб бориш зарурлигини тасдиқлайди (2, 3).
Тафаккур- инсон онгида аск этган объектлар томонлар ва хоссаларини ажратиш ва уларни янги билим олиш учун бошқа объектлар билан тегишли муносабатларда қўйиш жараёнига айтилади. Умуман олганда, тафаккур объектив борлиқнинг инсон онгида фаол акс эттириш жараёнидир.
Тафаккур ҳам мазмун ва шаклга эга. Алоҳида фикрлар тузилмаси ва уларни махсус бирлашмаларига тафаккурнинг шакллари дейилади. Тафаккурнинг шакллари қуйидагилар: тушунча, ҳукм ва тасдиқлар. Унинг ҳақиқатлилиги –уларни тўғри ўрганиш, мустаҳкам ва ишончли системани таъминлайди.
2. Тушунчалар объектларнинг турли хил сифатлари, белгилари ва хусусиятларини акс эттиради, бунда бирлик ва умумийлик хоссалари мавжуд. Бирлик хоссалари фақат шу объектга тегишли бўлиб, уни бошқаларидан фарқловчи белгиларини ўз ичига олади, умумий хоссалари – объектларга тегишли муҳим хоссаларни ифодалаш учун тушунчани бошқа тушунчалардан фарқли белгилари ва умумийлигини таъминлаш учун қўлланилади.
Тушунчанинг хусусиятлари: моддий дунёни акс эттирувчи категория ҳисобланади; билишда умумлашган нарса сифатида пайдо бўлади; тушунча ўзига хос инсон фаолиятини билдиради; инсон онгида тушунча шаклланиб, у нутқда, ёзувда ва белгиларда ифодаланиши билан характерланади.
Тушунчанингнг шаклланиш жараёни боскичлари: қабул қилиш, хиссий билиш, тасаввур , тушунчанинг шаклланиши.
Умумлаштиришда бир неча объектларга тегишли умумийликлар ажратилиб, фарқлари қаралмайди, абстракт тушунчалар шундай пайдо бўлади. Бунда объектларнинг каттароқ тўплами қаралиб, уларга хос умумий ва турғун хоссалари ажратилади.
Тушунча мазмун ва ҳажмга эга: мазмун – бу тушунчанинг барча муҳим белгилари тўпламидан иборат, ҳажми эса – бу тушунчани қўллаш мумкин бўлган объектлар тўплами, демак, мазмун – белги, хоссалар, ҳажм- объектларни ифодалайди.
Параллелограмм тушунчаси мазмунига қуйидаги белгилар киради: қарама-қарши томонлар тенг, қарама-қарши бурчаклар тенг, кесишиш нуқтасида диагоналлари тенг иккига бўлинади. Ҳажмига эса параллелограммлар, ромблар, тўғри тўртбурчаклар, квадратлар киради.
Тушунчанинг мазмуни ва ҳажми ўзаро алоқада. Мазмун ҳажмни белгилайди, ҳажм эса мазмунни тўла аниқлайди. Улар ўзаро тескари боғланишда, яъни мазмун ўзгариши билан ҳажм ўзгаради, лекин бирининг кенгайиши иккинчисининнг торайишига сабаб бўлади.
Масалан, параллелограмм тушунчаси мазмунини кенгайтирсак, яъни унинг диагоналлари ўзаро перпендикуляр белгисини қўшимча қилсак,унинг ҳажми тораяди ва унга фақат ромб ва квадратлар киради. Агар мазмуннни кичрайтирсак, яъни жуфт-жуфт қарама-қарши томонлари параллеллигини олиб ташласак, у ҳолда унинг ҳажми кенгайиб, унга яна трапециялар ҳам киради.
Агар икккита тушунча п1 ва п2 берилган бўлса ва уларнингг ҳажмлари тегишлилик муносабатида бўлса, яъни п2 тушунча каттароқ ҳажмга эга бўлса, у ҳолда п2 тушунча п1 га нисбатан жинсдош, п1 эса п2 га нисбатан турдош деб аталади. Масалан, ромб параллелограммга турдош тушунча, аксинча, параллелограмм ромбга жинсдош тушунча ҳисобланади.
Тушунча мазмунини очишда унинг белгилари ёрдамида таърифлаш муҳхим аҳамиятга эга. Тушунчаниннг таърифида ҳар бир белги зарурий, барчаси эса етарли бўлиши зарур. Масалан, параллелограмм- икки жуфт қарама-қарши томонлари тенг ва параллел бўлган тўртбурчак, квадрат – томонлари тенг ва тўртта бурчаги тўғри бўлган параллелограммдир каби таърифлар бунга мисол бўла олади.Умуман олганда, ихтиёрий тушунчани кенгайтириб нуқтали тўпламларгача олиб бориш мумкин Масалан, квадрат тушунчасининг кенгайишини кузатсак: квадрат – ромб – параллнлограмм – кўпбурчак – геометрик шакл – нуқтали тўплам.
Тушунчаларни таърифлашда қуйидаги усуллар мавжуд:яқин жинсдош ва турдош орқали таърифлаш: масалан, квадрат – тенг томонли тўғри тўртбурчак, ромб – диагоналлари ўзаро перпендикуляр параллелограмм, генетик усул – тушунчаларнинг келиб чиқишини кўрсатиш орқали: масалан, айлана таърифи, бунга мисол бўла олади. Индуктив равишда таърифлаш – реккурент тенгликлар ёрдами билан таърифлаш, масалан, арифметик прогрессия таърифини п-чи ҳади умумий ҳади формуласи орқали берилиши бунга мисолдир.Абстракт таърифлашда тушунчага хос белги ва хоссалар асосида таърифланади, масалан, натурал сонни эквивалент чекли тўпламлар характери сифатида таърифланади.
Тушунча ҳажми уни синфлаш учун имконият яратади, масалан, натурал сонқтуб сон + мураккаб сон + бир, қавариқ кўпбурчак қ қавариқ тўртбурчак + тўрбурчак эмас.
Математик тушунчаларни шакллантириш қуйидаги босқичларни ўз ичига олади:қабул қилиш ва сезги; қабул қилишдан тасаввурга ўтиш; тасаввурдан тушунчага ўтиш; тушунчани шакллантириш; тушунчани ўзлаштириш.
Математик ҳукмлар объектлар ҳақидаги фикрлар тузилмасидан иборат бўлиб, тушунчанинг бирор хосса ёки бошқа тушунчалар билан муносабатини ўрнатиш учун қўлланиладиган тафаккур шакли ҳисобланади, тушунчадан фарқли томони тўғри ёки ростлиги асосланилиши талаб этилади ёки бундай усул мавжудлиги кўрсатилиши лозим.
Математик ҳукмларнинг қуйидаги турлари мавжуд: аксиомалар, теоремалар,постулатлар.
Аксиомалар ҳақида гапирганда таъкидлаш керакки, исбот талаб қилмайдиган фикр бўлиб, математика фани асосида бундай бошланғич фикрлар – аксиомаларга таянилган ҳолда иш кўрилади. Натурал сонлар Пеано аксиомалар системасига, геометрия Евклид аксиомалар системаси асосида қурилиши бунга мисол бўла олади. Аксиомалар бошланғич таърифланмайдиган тушунчалар орасидаги дастлабки муносабатларни ифодалаш учун ишлатилиб, шу асосда назарий қоида ва теоремалар келтириб чиқарилади. Масалан, бир тўғри чизиқда ётмайдиган учта нуқта орқали фақат битта текислик ўтказиш мумкин.
Теоремалар эса математик хукмларнинг энг кўп ишлатиладиган тури бўлиб, у аксиомалар ёрдамида ўрнатилаётган назарий натижаларни ифода этиб, исботланиши талаб этилади. Теорема икки қисмдан иборат:шарт ва хулоса ва А В шаклда белгиланиши мумкин .Берилган теоремага асосланиб учта теоремани тузиш мумкин: тескари теорема В А, қарама-қарши теорема  А ; тескарига қарама –қарши .
Теореманинг турлари орасида қуйидаги боғланиш мавжуд: агар тўғри теорема рост бўлса, қарама-қарши теорема ҳам рост ва аксинча. Тескари теорема рост бўлса, тескарига қарама-қарши теорема ҳам рост бўлади.
Зарур ва етарли шартларни ҳам ўрганиш талаб этилади. Умуман олганда, р мулоҳаза учун х учун етарли шарт бўлади, агар хр импликация рост натижа берса, р мулоҳаза х учун етарли шарт бўлади, агар рх импликация рост бўлса. Масалан, натурал сон 6 га бўлиниши учун у жуфт бўлиши зарур, лекин етарли эмас, натурал сон жуфт бўлиши учун у 6 га бўлиниши етарли.Натурал сон 2 га бўлиниши учун у жуфт бўлиши зарур ва етарли.
Зарур ва етарли шартлар: р шарт учун зарур ва етарли шарт бўлади, агар бир вақтнинг ўзида хр ва рх импликациялар рост бўлиши керак.
Тушунча остига киритиш. У ёки бу объект ёки муносабат берилган тушунча ҳажмидан иборат объектлар ёки муносабатлар тўпламига мос равишда тегишлилигини исботлаш фаолияти тушунча остига киритиш дейилади.
Мактабда ўқувчиларнинг математик тафаккурини ривожлантиришда исботлашга доир масалаларни ечиш муҳимдир. Айниқса, алгебра дарсларида бундай масалаларни ечишга ўргатиш учун етарли имкониятлар мавжуд. Кўп қўлланиладиган тескарисидан фараз қилиш, математик индукция усулларидан ташқари ўқувчиларга баъзи ўзига хос усулларни ҳам ўргатиш уларнинг математик фикрлаш фаолиятларини ривожлантиришга ижобий таъсир кўрсатади. Ана шундай усулларни 7-9-синф алгебра дарсларида фойдаланиш жиҳатларига тўхталиб ўтамиз.
1. Контрапозиция бўйича исботлаш. Бу усулда А В мулоҳазани исбот-лаш ўрнига В га қарама-қарши мулоҳазани рост деб фараз қилиб, А га қарама-қарши мулоҳазанинг ҳақиқатлигини келтириб чиқаришга ҳаракат қилинади. Мазкур усул бевосита исботлаш анча мураккаб бўлган ҳолда қўлланиб, дастлаб ўқувчиларга А В мулоҳазадан мулоҳазани туза олиш, сўнгра эса исботлаш усулини тадқиқ этишга ўргатилади. Масалан, қисқа кўпайтириш формулаларини ўрганишда: агар 9а²-12ас +2в<0 бўлса, у ҳолда b ≤ 5с² ўринли бўлишини исботлаш ўрнига, “агар b > 2c² бўлса, тенгсизлик ўринли бўлишини исботлаш осон эканлигини кўрсатиш мумкин:

2. Контрмисол ва тасдиқловчи мисол келтириш усуллари. Контрмисол сифатида мулоҳазалар тенг кучлилигини ҳисобга олиб, xX,P(x) мулоҳаза ёлғонлигини кўрсатиш учун Х соҳадаги шундай х қийматни топиш керакки, унинг учун P хосса бажарилмаслигини кўрсатиш етарли. Масалан, “Тенгсизликлар” мавзусини ўрганишда “ c>1/c бўлса, с>1 бўлиши тўғрими” мулоҳазасига контрмисол сифатида сқ-0,5 ни олиш мумкин, чунки –0,5>1/-0,5=-2 бўлса, у ҳолда с=-0,5<1 бўлади. “Кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш” мавзусини ўрганишда “n³+5n-1 ифоданинг қиймати ихтиёрий натурал n да туб сон бўлиши тўғрими” мулохазаси учун nқ6 контрмисол бўлади ва ҳ.к.
Тасдиқловчи мисол усулида xx) мулоҳаза ростлигини исботлаш учун Х соҳада ҳеч бўлмаганда битта х қийматни топиш керакки унинг учун Р хосса бажарилиши кўрсатилади. Масалан, “Натурал кўрсаткичли даража” мавзусини ўрганишда “ х⁵+у⁵⁼33⁶ тенгликни қаноатлантирувчи х ва у натурал сонлар мавжудми?” машқи учун тасдиқловчи мисол х=66, у=33 қийматлар ҳисобланади. Ёки бунга ўхшаш =xy тенгликни қаноатлантирувчи х ва у сонлар мавжудми?” (тасдиқловчи мисол: х=1, у=1), “|a-b|=|a|-|b| тенглик айният бўладими?” (контрмисол: а=3, в=-4) ва ҳоказо.
Бу усулни қўллашда ўқитувчи асосий эътиборни исботлаш талаб этилаётган машқлар талабида “тўғрими?”, “мавжудми?”, “мумкинми?” дэган саволларнинг борлигига ҳамда берилган шартда иккита А ёки тасдиқлардан бирортасининг ҳақиқатлигини кўрсатиш зарурлигига қаратиш лозим.
3. Анализ ва синтезнинг турли хусусий кўринишларидан фойдаланиш усули. Бундай усулларга алгебра дарсларида: а) касрнинг бутун қисмини ажратиш; б) бутун қисмларга ажратиш (анализ); в) бутун қисмлар бўйича қайта тузиш (синтез); г) уларнинг комбинациясидан иборат усул (анализ ва синтез) лар киради.
Биринчи усул асосан “Алгебраик касрлар” ва “Рационал тенгламалар” мавзуларини ўрганишда ифодаларни айний шакл алмаштириш ёки тенгламалар ечимларини топиш учун қўлланилади. Масалан, у=(х²-5)/(х² +1) касрнинг энг кичик қийматини топишда бу ифоданинг бутун қисми ажратилиб у=1-6/х² +1нинг хқ0 даги у=-5 га тенг қиймати эканлиги келтириб чиқарилади. Бундан кейинчалик функциялар энг кичик ва энг катта қийматларини топишда, функция қийматлар соҳасини топишда ёки функциянинг ўсувчи ёки камаювчилигини исботлашда ҳам кенг қўлланилади. Масалан, уқх/x+1 функциянинг х>-1 да ўсувчи эканлигини исботлаш учун уни у=1-1/x+1 кўринишга келтириб, исботланади. Иккинчи усулда ифода қисмларга ажратиб тадқиқ этилади. Масалан, “а³+3а³+8а ифода ихтиёрий натурал а да 6 га бўлинишини исботлаш учун (а³+3а²+2а)+ва=а(а+1)(а+2)+ва кўринишга келтирилиб, мулоҳаза исботланади. Учинчи усулда бутуннинг қисмлари қайта тузилиб, янги кўринишга келтирилади. Масалан, 9х²-2ух+6 ифоданинг ҳамма вақт мусбат эканлигини кўрсатиш учун “тўлиқ квадрат ажратилиб” (3х-4)²+47>0 эканлиги исботланади. Ва ниҳоят, тўртинчи усулда ифода олдин қисмларга ажратилиб, сўнгра уларни тузиш амалга оширилади. Масалан, а>0, в>0, с>0 бўлса,
ав(а+в-2с)+вс(в+с-2с)+ас(а+с-2в)>0
эканлигини исботлашда
в²с-2авс+а²с+ав²-2авс+ас²+а²в-2авс+вс²=с(в²-2ав+а²)+а(в²-2вс+с²)+в(а²-2ас+с²)с(а-в)²+а(в-с)²+в(а-с)² 0
дан фойдаланиш мумкин.
4. Барча хусусий ҳолларни қараб чиқиш усули. Бу усулда мулоҳазага тегишли барча хусусий ҳоллар қаралиб, қарама-қаршиликка ёки тўғри мулоҳазага келиш амалга оширилади. Масалан, сонларнинг иррационаллигини исботлашда бўлиниш аломатидан фойдаланиб қуйидаги масалани ечиш мумкин.
1-масала. А= - бунда к-бутун сон кўринишидаги соннинг иррационаллигини исботланг.
Исбот. Ҳар қандай бутун сон 5 га бўлинганда, фақат 0,1,2,3,4 қолдиқлар бергани учун бутун соннинг квадрати фақат 0,1 ва 4 қолдиқларни беради. Шунинг учун а ва а² нинг туб кўпайтувчилари ёйилмасида қандайдир р кўпайтувчи тоқ даража билан киради. Лекин ақmn-қисқармас рационал сон бўлсин, у ҳолда m²қa²n² ва m:p, n:p қарама-қаршилик.
Яна шунга ўхшаш қуйидаги масалани ечишда ҳам бирор хусусий ҳол қаралиб, кейин қарама-қаршилик ҳосил қилишдан фойдаланилади.
2-масала. 0,12345.. (барча сонлар тартиб билан ёзилган) соннинг иррационаллигини исботланг.
Исбот. Фараз қилайлик, бу даврий каср даври n та белгидан иборат бўлсин. Лекин бу касрда қаторасига 2n+1 та нолга жой топилади. Бу оралиқда бутун бир давр жойлашиши лозим, яъни бутун бир давр жойлашади, яъни давр ноллардан ташкил топган, лекин бу ундай эмас, қарама-қаршиликка келдик.
Алгебра дарсларида айниқса тенгсизликларни исботлаш усулларига ўргатиш муҳимдир. Бунда қуйидаги усулларни қўллашни ўргатиш зарур:
1. Икки сон ўрта арифметиги ва ўрта геометриги орасидаги тенгсизликдан фойдаланиш усули, яъни тенгсизликдан фойдаланиб исботлаш.Аввало ўқувчиларга унинг содда кўринишларини исботлашни таклиф этиш мумкин:
1. ; 2. ; 3. ;4.
Шундан сўнг, қуйидаги кўринишдаги тенгсизликларни исботлашга ўтиш мумкин:
Агар - мусбат сонлар бўлса,

тенгсизлик ўринли бўлишини исботланг.
Буни исботлаш икки марта асосий тенгсизликни қўллаш орқали амалга оширилади.
2. Ҳарфий ифодани йиғинди ёки айирма шаклида тасвирлаш усули. Бунда қулай шакл алмаштиришлар ёрдамида ифодани ҳадларини 1 ёки 0 билан осон таққослаш мумкин бўлган кўринишга келтирилади.
Мисол. х ихтиёрий сон бўлганда

тенгсизликни исботлашда унинг биринчи ва тўртинчи, иккинчи ва учинчи ҳадларни алоҳида кўпайтириб, тенгсизликнинг

исботини олиш мумкин.
3. Ҳарфий ифодаларни кўпайтувчиларга ажратиш усули, бунда агар ўсувчи функция ва а, в бу функция аниқланиш соҳасига тегишли сонлар бўлса, у ҳолда ( тенгсизлик ўринли бўлишидан фойдаланилади. Масалан, мусбат х ва у сонлар учун

тенгсизликни исботлашда белгилашларни киритиб, юқоридаги қоидадан фойдаланамиз.
4. Даражани ўз ичига олган сонли ифодаларни айний шакл алмаштириш усули, бу асосан даражага боғлиқ ифодаларни катта ёки кичиклигини аниқлашга доир масалаларни ечишда қўлланилади. Бунга доир қуйидаги машқлардан фойдаланиш мумкин:
Таққосланг: қайси катта 7⁹² ми ёки 8⁹¹ , 2⁴⁰ ми ёки 3³⁷ ?
5. Математик индукция принципи асосида исботлаш усули натурал сонлар ва уларнинг йиғиндилари билан боғлиқ кўп тенгсизликларни исботлашда қўлланилади.Бунда ўқувчиларга ҳар бир қадамнинг асосланиши ҳамда унинг турли хил кўринишларини ҳисобга олган ҳолда исботлашга ўргатиш мақсадга мувофиқ.
Масалан, агар иккита натурал сонлар кетма-кетлиги берилган бўлиб, бирор натурал сон m учун ўринли бўлиб, барча лар учун бўлса, у ҳолда барча n>m лар учун ўринлилигидан фойдаланиб, тенгсизликларни исботлаш мумкин . Масалан, n да тенгсизликни шу усул билан исбот-лаш мумкин.
Худди шунга ўхшаш , бирор натурал сон m учун ўринли бўлиб, барча лар учун бўлса, у ҳолда барча n>m лар учун ўринли бўлишидан эса 1) n да ; 2) (n ; 3) тенгсизликларни исботлаш имконияти вужудга келади.
Шундай қилиб, мактабда алгебра дарсларида ўқувчиларга исботлаш усулларини ўргатишда хар хил усуллар тадбиқларини мисолларни муҳокама қилиш орқали амалга оширилиши яхши натижалар беради. Бунда университетлар талабаларини услубий тайёргарлигини амалга оширишда ҳам бунга алохида эътибор бериш талаб этилади ва амалий машғулотларда ҳамда педагогик амалиётда қўллаш усулларига бўлажак ўқитувчиларни ўргатиб бориш мақсадга мувофиқ.