Oddiy dirensial tenglamalar

9.1.1.Eyler usuli
Berilgan kesmani n ta teng bo’lakaga bo’lib bo’linsh nuqtalari orasidagi qadam
(9.3)
bo’laganda bu nuqtalar kordinatalari
(9.4)
bo’ladi .Boshlang’ich shartdagi lardan foydalanib tenglama yechishning qiymatlarni taqriban quyidagicha hisoblaymiz.
(9.5)
natijada izlayotgan yechimni qanoatlantiruvchi

nuqtalarni aniqlaymiz .Bu nuqtalarni tutashtiruvchi sinik chiziq Eyler chizi’I deb ataladi va u tenglama yechimining taqribiy grafigi ifodalaydi.
9.1.2 Eylerning ketms-ket yaqinlashish usuli
Berilgan (9.1) tenglama uchun Koshi masalasini yechishdagi usulini mukammallashtirish mumkin.Yani
(9.6)
taqribiy yechimning asosan yechim qiymatlarini aniqligini oshirish quyidagi formulani tuzamiz.
(9.7)

bu formula bo’yicha hisoblashni i+1 yechim qiymatiga k-yaqinlashish lar ustma-ust tushguncha davom ettiramiz.Natijada yechimning taqribiy qiymati

bo’ladi.Yuqoridagi usul bilan yechimning qiymatini hisoblaymiz va x.k.h qadamni yetarkicha kichik tanlashnishi yechimga tez yaqinlashtiradi.
9.1.3.Eylerning takomllishgan usuli .
Quydagi

birinchi tartibli differensial tenglamani

boshlng’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni quydagi takomllashtirish usullari bilan topamiz .
Birinchi takomlashgan usulli.
Yuqoridagi masalani yechishda oraliq qiymatlarini aniqlaymiz :
,
(9.8)
bu takomlashtirish bo’yicha yechimning qiymatlarini quydagicha topamiz.
. (9.9)
Ikkinchi takomlashtirilgan yaqinlashish quyidagicha topamiz .
(9.10)
Eylerning birinchi va ikkinchi takomillashgan usullarida qoldiq hading tartibi, har qadamda bo’ladi.
har bir nuqtadagi xatolikni baholash takroriy hisob yordamida bo’ladi, yani hisob h/2 qadam bilan takrorlanadi va ning qiymatini aniqlaydi (h/2 qadamda)
quydagicha baholanadi:

bu yerda u(x) differensial tenglamaning aniq yechimi.