Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

Икки ызгарувчили функциянинг лимити ва узлуксизлиги.

2-Таъриф. Айтайлик, z=f(x; y) функция Д сощада ани=ланган былиб, М₀(х₀, у₀)Д былсин. Д сощанинг М₀(х₀; у₀) ну=тага я=ин барча М(х; у) ну=талари учун, етарлича кичик >0 да f(x, y)-a< тенгсизлик бажарилса, у щолда а сонини f(x; y) функциянинг М₀(х₀; у₀) даги лимити дейилади ва уни limf(x; y)=a каби ёзилади.
хх₀ уу₀
z=f(x; y) функция Д тыпламда берилган былиб, (х₀; у₀) ну=та шу Д тыпламни лимит ну=таси былсин.
3-Таъриф. Агар limf(x; y)=f(x₀; y₀) былса, у щолда f(x; y) функция
хх₀ уу₀
(х₀; у₀) ну=тада узлуксиз деб аталади.

4. 
   Икки ызгарувчили функциянинг хусусий щосиласи ва дифференциали.
   

Икки ызгарувчили функциянинг щусусий орттирмалари мос равишда _хz=f(x+x, y)-f(x, y)(1), _уz=f(x, y+y)-f(x, y) (2) формулалар ор=али топилади, тыла орттирмаси эса f=f(x+x, y+y)-f(x, y) (3) ор=али ифодаланади.
4-Таъриф. Агар х0 да _xf(x₀; y₀)/x нисбатнинг лимити мавжуд былса, бу лимит f(x, y) функциянинг (х₀; у₀) ну=тадаги х аргументи быйича хусусий щосиласи деб аталади ва df(x₀; y₀)/dx ёки f¹_x(x₀; y₀) (=ис=ача df/dx ёки f¹) каби белгиланади:
df(x₀; y₀)/dx=f¹_x(x₀; y₀)=lim_xf(x₀; y₀)/x=lim(f(x₀+x,y₀)-f(x₀;y₀))/x.
^{х0 х0}


Худди шунга ыхшаш агар у0 да _yf(x₀; y₀)/ y нисбатнинг лимити мавжуд былса, бу лимит f(x, y) функциянинг (х₀; у₀) ну=тадаги у аргументи быйича хусусий щосиласи деб аталади ва df(x₀; y₀)/dy ёки f¹_y(x₀; y₀) (=ис=ача df/dy ёки f¹_y) каби белгиланади:
df(x₀; y₀)/dy=f¹_y(x₀; y₀)=lim_yf(x₀; y₀)/ y=limf(x₀; y₀+y)-f(x₀; y₀)/ y.
^{у0 у0}
Эслатма. х быйича хусусий щосила олинаётганда у ни ызгармас ми=дор аксинча у быйича хусусий щосила олинганда х ни ызгармас ми=дор деб =аралади.
Мисол. f(x, y)=6x²-3xy+4y²+1; f¹_x(x, y)=12x-3y; f¹_y(x, y)=-3y+8y. Бу мисоллардан кыринадики, z=f(x, y) функциянинг хусусий щосилалари яна функциядан иборат былади.
5-Таъриф. z=f(x, y) функциянинг биринчи тартибли хусусий щосиласидан яна бир марта олинган хусусий щосила иккинчи тартибли хусусий щосила дейилади ва Z¹¹_xx; Z¹¹_yy; Z¹¹_xy; Z¹¹_yx кыринишда белгиланади.
Хусусий дифференциаллар. z=f(x, y) функциянинг х ва у ызгарувчилар быйича хусусий дифференциаллари ушбу d_xz=(дz/дx)dx; d_yz=(дz/дy)dy формулалар ор=али щисобланилади.
Функциянинг тыли= орттирмаси ва тыли= дифференциали.
6-Таъриф. z=f(x, y) функциянинг тыли= орттирмаси деб унинг щамма аргументлари ызгариши натижасида олинган орттирмага айтилади, яъни z=f(x+x, y+y)-f(x, y).
Эслатма. Тыли= орттирма хусусий орттирмалар йигиндисига тенг эмас, яъни z_xz+_yz.
7-Таъриф. Z=f(x, y) функция бирор М(х₀, у₀) ну=тада дифференциалланувчи былсин. z=f(x; y) функция тыли= орттирмасининг х ва у га нисбатан чизи=ли бош =исми, яъни (дz/дx)x+(dz/dу) y ни f(x; y) функциянинг М(х₀, у₀) ну=тадаги тыла дифференциали дейилади ва уни dz=(дz/дx)dx+(дz/дy)dy формула ор=али белгиланади.