Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi Termiz Davlat Universiteti "Axborot texnologiyalar" fakulteti "Amaliy Matematika” yo'nalishi

O’z-o’ziga qo’shma operatorlar
H – Hilbert fazosi bo’lsin.
Teorema 2.6.1. A, B ∈ L(H) – o’z-o’ziga qo’shma operatorlar, α, β – haqiqiy sonlar bo’lsin.
U holda αA + βB ham H dagi o’z-o’ziga qo’shma operator bo’ladi.
58
Isbot. Darhaqiqat αA+βB operatorning aniqlanishidan, skalyar ko’paytmaning chiziqliligidan
va A va B larning o’z-o’ziga qo’shmaligidan
((αA + βB)x,y) = (αAx + βBx, y) = α(Ax,y) + β(Bx,y) =
= α(x,Ay) + β(x,By) = (x,αAy + βBy) = (x,(αA + βB)y)
ekanligini hosil qilamiz. Demak αA + βB ham o’z-o’ziga qo’shma operator. N
Teorema 2.6.2. Agar A = A∗ bo’lsa, ixtiyoriy x ∈ H uchun (Ax,x) haqiqiy son bo’ladi.
Darhaqiqat, teorema shartiga va ichki ko’paytmaning xossalariga binoan
(Ax,x) = (x,A∗x) = (x,Ax) = (Ax,x)
va demak, (Ax,x) ∈ R .
Teorema 2.6.3. Agar A operator o’z-o’ziga qo’shma bo’lsa, u holda
kAk = sup kxk≤1 |(Ax,x)|.
Isbot. cA = sup kxk≤1 |(Ax,x)| bo’lsin. Cauchy-Bunyakoyskiy tengsizligi va chiziqli operatorning
normasining xossalariga ko’ra
cA = sup kxk≤1 |(Ax,x)| ≤ sup kxk≤1 kAxk kxk ≤ kAk. (2.6.1)
Shuningdek, cA ning aniqlanishiga asosan, barcha 0 6= x ∈ H lar uchun
va bundan hamda A operatorning chiziqliligidan
|(Ax,x)| ≤ cAkxk
2
(2.6.2)
tengsizlikni hosil qilamiz. Quyidagi ayniyatlar o’rinli:
(A(x + y),x + y) = (Ax,x) + (Ax,y) + (Ay,x) + (Ay, y) =
= (Ax,x) + 2Re (Ax,y) + (Ay, y),
(A(x − y),x − y) = (Ax,x) − (Ax,y) − (Ay, x) + (Ay, y) =
= (Ax,x) − 2Re (Ax,y) + (Ay,y).
Bu yerda Re λ – λ kompleks sonning haqiqiy qismi. Birinchi ayniyatdan ikkinchisini ayirib,
4Re (Ax,y) = (A(x + y),x + y) − (A(x − y),x − y)
tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglikni modul bo’yicha baholab, (2.6.2) tengsizlikni va parallelogram qoidasini qo’llab,
4|Re (Ax,y)| ≤ |(A(x + y),x + y)| + |(A(x − y),x − y)|≤ cA(kx + yk+kx−yk
tengsizlikka ega bo’lamiz. Bundan kxk = kyk = 1 tenglikni qanoatlantiruvchi x,y ∈ H lar
uchun |Re (Ax,y)| ≤ cA (2.6.3)
tengsizlikni hosil qilamiz. Faraz qilamiz, Ax 6= 0 va kxk ≤ 1. (2.6.3) tengsizlikda y = Ax/kAxk
olinsa,
|(Ax,Ax)| kAxk ≤ cA, ya’ni kAxk ≤ cA
ekanligini hosil qilamiz. Bu munosabat Ax = 0 bo’lganda ham to’g’ri bo’lgani uchun bu yerdan
kAk = sup kxk≤1 kAxk ≤ cA tengsizlikka kelamiz. U holda (2.6.1) tengsizlikka asosan cA = kAk
tenglikni hosil qilamiz.
Teorema isbotlandi. N
Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
Natija 2.6.1. A – o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin. U holda barcha x ∈ H lar uchun
(Ax,x) = 0 bo’lishi uchun A = 0 bo’lishi yetarli va zarur.
Natija 2.6.2. A – o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsin. U holda barcha x,y ∈ H lar uchun
(A(x+y),x+y)+(A(x−y),x−y)
(A(x+iy),x+iy)+(A(x−iy),x−iy)
tenglik bajariladi.
Quyidagi teorema o’z-o’ziga qo’shma operatorlar va haqiqiy qiymatli kvadratik formalar
orasidagi munosabatni ifodalaydi.
Teorema 2.6.4. H – kompleks Hilbert fazosi bo’lsin. Agar ixtiyoriy x ∈ H da (Ax,x) haqiqiy
qiymatli bo’lsa, u holda A – o’z-o’ziga qo’shma operator bo’ladi.
Shuni aytib o’tamizki, A operator haqiqiy Hilbert fazolarida aniqlangan bo’lsa, umumiy
holda, (Ax, x) = 0 ekanligidan A ning o’z-o’ziga qo’shmaligi va A = 0 ekanligi kelib chiqmaydi.