Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi Termiz Davlat Universiteti "Axborot texnologiyalar" fakulteti "Amaliy Matematika” yo'nalishi

Kompakt operatorlarning xossalari
Kompakt to‘plam ta’rifi, misollar.
To‘g‘ri chiziqning ajoyib xossalaridan biri shuki, undagi chegaralangan har
qanday cheksiz to‘plam kamida bitta limit nuqtaga ega. Bu fakt BolsanoVeyershtrass teoremasida o‘z ifodasini topgan. Lekin ixtiyoriy metrik fazoda
bunday sodda natija, umuman aytganda, o‘rinli emas. Shuning uchun quyidagi
savolning qo‘yilishi tabiiy: Metrik fazoda qanday to‘plamlar sinfi uchun BolsanoVeyershtrass teoremasining mazmuni saqlanadi? savol munosabati bilan quyidagi
muhim ta’rifni kiritamiz.
1-ta’rif. X metrik fazodagi M to‘plamning elementlaridan tuzilgan
ixtiyoriy ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin
bo‘lsa, u holda M to‘plam X da kompakt deyiladi.
Misollar. 1) Yuqorida keltirilgan, to‘g‘ri chiziqdagi har qanday kesma;
2) Tekislikdagi r>0 radiusli yopiq shar;
3) Tekislikda koordinatalari a≤x≤b, c≤y≤d shartlarni qanoatlantiruvchi (x;y)
nuqtalar to‘plami kompakt to‘plamlar bo‘ladi.
4.2. To‘plam kompakt bo‘lishining zaruriy shartlari.
1-teorema. Kompakt to‘plam chegaralangan bo‘ladi.
Isboti. M kompakt to‘plam bo‘lib, chegaralanmagan bo‘lsin deb faraz
qilamiz. M dan ixtiyoriy x1 nuqtani olib, radiusi r1=1 ga teng S(x1,r1) sharni
ko‘ramiz. M chegaralanmaganligi uchun u bu sharda to‘la joylashgan bo‘lmaydi.
M to‘plamning S(x1,r1) sharga kirmagan biror x2 elementini olamiz. U holda
ρ(x1,x2)≥r1. Co‘ngra radiusi r2= ρ(x1,x2)+1 ga teng S(x2,r2) sharni qurib, M
to‘plamning bu sharga kirmagan x3 elementini olamiz. Bunday element mavjud,
chunki M chegaralanmagan to‘plam va ρ(x1,x3)≥r2. Bu jaryonni cheksiz davom
ettiramiz. Natijada {xn} (xn∈M) ketma-ketlik va o‘sib boruvchi {rn} sonli ketmaketlik hosil bo‘lib, ular uchun ushbu
ρ(x1,xn)+1 = rn> rn-1 (n=1,2,…)
tengsizliklar bajariladi.
Endi ixtiyoriy n>m≥2 natural sonlar uchun
www.ziyouz.com kutubxonasi
ρ(x1,xn)+1 = rn> rn-1 ≥ rm; ρ(x1,xm)+1 = rm
munosabatlar o‘rinli. Bulardan va quyidagi
ρ( x1,xn)≤ ρ(x1,xm)+ ρ(xm,xn)
tengsizlikka asosan ushbu
rn ≤ rm+ρ(xm,xn),
demak, ρ(xm,xn)≥1 munosabat kelib chiqadi.
Oxirgi tengsizlikdan {xn} ketma-ketlikning o‘zi ham va uning biror qismi
ham fundamental bo‘la olmasligi, ya’ni yaqinlashuvchi bo‘la olmasligi kelib
chiqadi. Bu esa M to‘plamning kompaktligiga zid. Teorema isbot bo‘ldi.
Bu teoremaning teskarisi o‘rinli emas. Masalan, l2 fazoda
e1=(1, 0, 0, 0, …), e2 = (0, 1, 0, 0, … ), e3 = (0, 0, 1, 0, … ), . . .
elementlardan iborat chegaralangan to‘plamni tuzamiz. Bu elementlarning
ixtiyoriy ikkitasi orasidagi masofa ρ(em,en)= 2 ga teng (m≠n). Shuning uchun bu
ketma-ketlik va uning hech qanday qismi yaqinlashuvchi bo‘lmaydi, demak,
tuzilgan to‘plam kompakt emas.
2-teorema. Kompakt to‘plam yopiq bo‘ladi.
Isboti. M to‘plam kompakt bo‘lib, yopiq bo‘lmasin deb faraz qilamiz. U
holda yaqinlashuvchi {xn}⊂M ketma-ketlik mavjud bo‘lib uning limiti (b bilan
belgilaymiz) M ga tegishli bo‘lmaydi. Bu ketma-ketlikdan M to‘plamning a
elementiga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Aks
holda {xn} ketma-ketlik ikkita, a va b limitga ega bo‘lar, bu esa mumkin emas.
Demak, M kompakt emas. Teorema isbot bo‘ldi.
Kompakt to‘plamning istalgan yopiq qism to‘plami ham kompakt to‘plam
bo‘lishini isbotlashni o‘quvchiga mashq sifatida qoldiramiz.
4.3. n-o‘lchamli fazoda kompakt to‘plamlar
3-teorema. n R fazoda M to‘plamning kompakt bo‘lishi uchun uning
chegaralangan va yopiq bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zaruriyligi yuqoridagi teoremadan kelib chiqadi.
www.ziyouz.com kutubxonasi
Yetarliligi. Aytaylik M chegaralangan va yopiq to‘plam bo‘lsin. M
chegaralangan bo‘lganligi sababli uni o‘z ichiga oluvchi, n-o‘lchamli
parallelepiped P, ya’ni P={x=(x1, x2, …,xn): ai≤xi≤bi, i=1,2,…,n}, mavjud. Bu parallelepipedning kompakt to‘plam ekanligi matematik analizdagi BolsanoVeyershtrass teoremasi kabi isbotlanadi. Buning uchun parallelepipedni teng
ikkiga emas, balki teng 2n bo‘lakka bo‘lish kerak. Endi M to‘plam yopiq va P kompakt to‘plamning qismi ekanligidan M to‘plamning kompakt ekanligi kelib
chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.