Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi Termiz Davlat Universiteti "Axborot texnologiyalar" fakulteti "Amaliy Matematika” yo'nalishi

Ortagnalashtirish jarayoni.
Operatorning normasi
Biz oldingi mavzuda chiziqli operatorning chegaralanganligi haqidagi quyidagi ta’rifni keltirgan edik:
chiziqli operator bo‘lsin. Agar shunday son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun
(1)
tengsizlik bajarilsa, chegaralangan operator deyiladi.
1-ta’rif. (1) tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamining aniq quyi chegarasi operatorning normasi deyiladi, va u bilan belgilanadi, ya’ni

Bu ta’rifdan ixtiyoriy uchun

tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
1-teorema. normalangan fazoni normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorning normasi uchun
(2)
tenglik o‘rinli.
Isbot. Quyidagicha belgilash kiritamiz
.
chiziqli operator bo‘lgani uchun

Ixtiyoriy uchun

Demak, ixtiyoriy uchun Bundan esa
. (3)
Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko‘ra, ixtiyoriy son uchun, shunday element mavjudki,

tengsizlik bajariladi. Bu yerdan ixtiyoriy bo‘lgani uchun,

. (4)
(3) va (4) lardan tenglik kelib chiqadi.
1-tasdiq. Chiziqli chegaralangan operator uchun

tenglik o‘rinli.

Chiziqli operatorlar ustida amallar
chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorlar to‘plamini bilan belgilaymiz. Xususan bo‘lsa .
1-natija. Ixtiyoriy va , uchun
(5)
tengsizlik o‘rinli.
(5) tengsizlikning isboti (2) tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi.

Chegaralangan va Uzluksiz Chiziqli funksionallar
1.1.12-ta’rif. va chiziqli operatorlarning yig‘indisi deb, elementga elementni mos qo‘yuvchi operatorga aytiladi.
Ravshanki, chiziqli operator bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda ham chegaralangan operator bo‘ladi va
(1.1.8)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
.
Bu yerdan (1.1.8) tengsizlik kelib chiqadi.
1.1.13-ta’rif. chiziqli operatorning songa ko‘paytmasi elementga elementni mos qo‘yuvchi operator sifatida aniqlanadi, ya’ni
.
1.1.14-ta’rif. va chiziqli operatorlar berilgan bo‘lib bo‘lsin. va operatorlarning ko‘paytmasi deganda,
har bir ga fazoning elementini mos qo‘yuvchi operator tushuniladi.
Agar va lar chiziqli chegaralangan operatorlar bo‘lsa, u holda ham chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi va
(1.1.9)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
.
Bu yerdan (1.1.9) tengsizlik kelib chiqadi.
Operatorlarni qo‘shish va ko‘paytirish assotsiativdir. Qo‘shish amali kommutativ, lekin ko‘paytirish amali kommutativ emas.
Agar va lar chiziqli normalangan fazolar bo‘lsa, ham chiziqli normalangan fazo bo‘ladi, ya’ni ,

funksional normaning 1-3 - shartlarini qanoatlantiradi.